La convergencia de $\sum _{k=1}^\infty \sin \left(\sqrt{k}\right)/k$

Question

Este preguntaron en un examen oral.

¿La serie $\displaystyle \sum _{k\geq1}\frac{\sin\left(\sqrt{k}\right)}{k}$ convergen ?

Después de jugar con Mathematica, es muy probable que converge, pero poco a poco (una especie de oscilación).

Para probar realmente convergencia, suma por una parte es inútil, ya que $\displaystyle \sum _{k\geq1}\sin\left(\sqrt{k}\right)$ diverge.

Cualquier sugerencia se agradece.

Answer 1

La convergencia de $\int_1^\infty\frac{\sin\sqrt t}tdt$ puede ser deducido por una sustitución de $s=\sqrt t$, y la convergencia de $\int_1^\infty\frac{\sin s}sds$. Definir $$a_k:=\int_k^{k+1}\frac{\sin\sqrt t}{t}\mathrm dt-\frac{\sin\sqrt k}k$$ y $g(x):=\frac{\sin(\sqrt x)}x$. Desde $$g'(x)=\frac{\cos(\sqrt x)}{x^{3/2}}-\frac{\sin(\sqrt x)}{x^2}$$ y por el valor medio teorema, $a_k=g'(x_k)$ algunos $x_k\in [k,k+1)$, obtenemos $$|a_k|\leqslant \frac 2{k^{3/2}},$$ por lo tanto $\sum_{k\geqslant 1}|a_k|$ es convergente.

Answer 2

$\sum_{k=1}^{n}\dfrac{\sin(\sqrt{k})}{k}$ conspiraron contra $C-\dfrac{2\cos(\sqrt{k-\sqrt{\pi}})}{\sqrt{k+\sqrt{\pi}}}$ donde $C$ se calcula en Mathematica numéricamente con el hecho de que $\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{\sin(\sqrt{k})}{k}=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{e^{i\sqrt{k}}}{k}$:

c = Quiet[N[Im[Sum[E^(I Sqrt[k])/k, {k, 1, Infinity}]]]];
Show[Plot[Sum[Sin[Sqrt[k]]/k, {k, 1, n}], {n, 0, 100}, 
GridLines -> {{}, {c}}, GridLinesStyle -> Darker[Green], 
PlotStyle -> {Darker[Green], Thick}], 
Plot[c - 2 Cos[Sqrt[k - Sqrt[Pi]]]/Sqrt[k + Sqrt[Pi]], {k, 0, 100}, 
PlotStyle -> {Darker[Blue], Thin}, PlotRange -> All]]

y para mayor $k$:

Quiet[N[Im[Sum[E^(I Sqrt[k])/k, {k, 1, Infinity}]]]]

luego le $C\approx1.7156717726570607\dots$.