Hay dos nociones de género en geometría algebraica, a saber, el género aritmético $p_a=(-1)^{\dim X}(\chi(\mathcal{O}_X)-1)$ y el género geométrico $p_g=\dim H^0(X,\Omega^{\dim X})$. Siempre olvido la definición de estos, o me confundo sobre cuál es cuál. ¿Hay alguna buena manera de recordarlos?
Más precisamente, me gustaría asociar estas definiciones con los nombres "aritmético" y "geométrico".
Si tus curvas se vuelven singulares (digamos, nodales), entonces el género aritmético se mantiene igual, mientras que el género geométrico disminuye.
Desde otro punto de vista, tu curva es aritméticamente la misma (digamos, sigue siendo una curva plana de grado d), mientras que geométricamente (¡y topológicamente!) es diferente.
Creo que esta no solo es una forma natural de recordar, sino también cómo estos términos aparecieron históricamente. (Severi estudiando curvas nodales)
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