Ejercicio sobre submartingalas: es $\phi(X_n)$ una submartingala, dadas algunas suposiciones sobre $(X_n)$? ¿Es correcta la siguiente solución?

Question

Sea $X=(X_n)_{n>0}$ una submartingala. Mostrar que si $\phi$ es convexa y no decreciente en $\mathbb{R}$ y si $\phi(X_n)$ es integrable para cada $n$, entonces $Y_n=\phi(X_n)$ también es una submartingala.

Mi SOLUCIÓN

Se tiene que:

$1)$ $\mathbb{E}(|X_n|) < \infty$, para cada $n$;

$2)$ $X_n$ es $\mathcal{F_n}$-medible, para cada $n$;

$3)$ $\mathbb{E}(X_n|\mathcal{F}_m) \geq X_m$ casi seguramente, para cada $m \leq n$;

Hay que demostrar que, dado que:

$4)$ $\phi^{''} > 0$;

$5)$ $\phi^{'} \geq 0$, es decir: si $x < y$, entonces $\phi(x) \leq \phi(y)$;

$6)$ $\mathbb{E}(\phi(X_n)) < \infty $;

entonces:

$1.1)$ $\mathbb{E}(Y_n=\phi(X_n)|\mathcal{F}_m) \geq Y_m = \phi(X_m)$ casi seguramente, para cada $m \leq n$.

PRIMERO, dado que $\phi$ es no decreciente (hipótesis $5)$), dado la hipótesis $3)$, para cada $m\leq n$ y casi seguramente se cumple que: \begin{equation} \phi(\mathbb{E}(X_n|\mathcal{F}_m)) \geq \phi(X_m) = Y_m \end{equation}

EN SEGUNDO LUGAR, dado que $\phi$ es convexa (hipótesis $4)$), por la desigualdad de Jensen se tiene que: \begin{equation} \mathbb{E}(\phi(X_n)=Y_n|\mathcal{F}_m) \geq \phi(\mathbb{E}(X_n|\mathcal{F}_m)) \geq \phi(X_m) = Y_m \end{equation}

lo que corresponde exactamente a $1.1)$.

¿Es correcto el razonamiento anterior?

Answer 1

Tu argumento está bien pero tu comprensión de la convexidad no es correcta. Las funciones convexas no se definen a través de segundas derivadas. Se definen por la desigualdad $\phi (tx+(1-t)y) \leq t\phi (x)+(1-t)\phi (y)$ y una función convexa ni siquiera necesita tener primera derivada en cada punto. Sin embargo, la desigualdad de Jensen es válida para estas funciones incluso si no son diferenciables.