Este es un problema de mi curso de Análisis Real. Solo me gustaría una pista en la dirección correcta.
Sea $S$ cualquier subconjunto denso de $\mathbb{R}$. Sea $f:E\rightarrow \mathbb{R}$. Demuestra que $f$ es medible $\iff$ $\{f>\alpha\}$ es medible para cada $\alpha \in S$.
Me dieron como pista que podría hacer una secuencia $S_n\in S$ que converge a $-\infty$. Entonces esto es lo que pensé:
$\Rightarrow$ Supongamos que $f$ es medible. Sea $\{S_n\}$ para $n\in \mathbb{N}$ una secuencia en $S$ que converge a $-\infty$. Para cada $\alpha_n \in \{S_n\}$, existe un conjunto correspondiente $\{f>\alpha_n\}$. Toma $\mathcal{O}_n=\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N}}{\mathcal{O}_n}_i$ como el conjunto abierto que cubre un determinado $\{f>\alpha_n\}$. Dado que $f$ es medible, cada conjunto abierto $\mathcal{O}_n\in f(E)$ tiene una imagen inversa $f^{-1}(\mathcal{O}_n)\in E$ según la proposición 2 p. 55 de $\textit{Royden, Fitzpatrick}$. Define $E_n=f^{-1}(\mathcal{O}_n)$. Dado que cada $O_n$ es medible, $E_n$ también es medible. Por lo tanto, $E=\bigcup\limits_{n\in \mathbb{N}}E_n$ es un conjunto numerable, que también es medible. Por lo tanto, según la proposición 1 p. 54 de $\textit{Royden, Fitzpatrick}$, el conjunto $\{f>\alpha\}$ para todo $\alpha\in S$ es medible.
¿Alguien podría explicar por qué somos capaces de elegir tal secuencia? (Creo que es por la densidad de $S$, pero no estoy seguro.)
Además, ¿mi demostración en una dirección siquiera se acerca a ser correcta?
