Estoy tratando de demostrar que $$\sum_p\frac{\ln p}{p^s(p^s-1)} = \text{const.} \qquad \Re\{s\} > 1/2,$$ donde $\{p\}$ es un conjunto de todos los números primos. Mathematica muestra que $$\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^s(x^s-1)} = 0, \qquad \Re\{s\} > 0.$$ Pero ¿cómo demostrar que la suma para todos los primos $$\sum_p\frac{\ln p}{p^s(p^s-1)}$$ es convergente cuando $\Re\{s\} > 1/2$?
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Gary
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Según el teorema de los números primos, el $n$-ésimo primo $p_n$ es asintóticamente $n\log n$. Entonces, con $\sigma =\operatorname{Re}(s)$, $$ \left| {\frac{{\log p_n }}{{p_n^s (p_n^s - 1)}}} \right| \sim \frac{1}{{n^{2\sigma } (\log n)^{2\sigma - 1} }} $$ cuando $n\to +\infty$. La serie formada por los términos del lado derecho converge si y solo si $\sigma>\frac{1}{2}$ por el test de condensación de Cauchy, por ejemplo. Por lo tanto, tu serie original es (absolutamente) convergente si y solo si $\sigma>\frac{1}{2}$ por el test de comparación de límites. Según el test M de Weierstrass, converge uniformemente en cada subconjunto compacto de $\sigma>\frac{1}{2}$. Así, por el teorema de Morera, tu serie define una función holomorfa de $s$ en el semiplano $\sigma>\frac{1}{2}$.
