Longitud de la progresión aritmética más larga cuadrado libre con diferencia d

Question

Dado un entero no negativo $d$, ¿cuál es la longitud $L$ de la progresión aritmética cuadrada más larga con diferencia $d$?

Conjetura: $L = p^2 - 1$, donde $p$ es el menor primo que no divide a $d$.

Es fácil ver que $L \leq p^2 - 1$ (considera las progresiones $(n, n+d, ... , n+p^2\cdot d)$ módulo $p^2$). Para todos los $d<=200$ y para muchos otros valores de $d$ he verificado que la desigualdad es de hecho una igualdad.

Por ejemplo, si $d = 30030 = 2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13$, entonces $p = 17$ y la progresión con diferencia $d$ empezando en $n=108349$ y teniendo longitud $p^2-1 = 288$ consiste de números libres de cuadrados. Los números "marcando" de esta secuencia, $n-d = 17^2\cdot271$ y $n+288\cdot d=17^2\cdot30301$, ambos contienen el cuadrado de $p$. Además, no existe ninguna progresión aritmética libre de cuadrados para este $d$ que empiece en un $n$ más pequeño.

¿Se puede probar o refutar mi conjetura?

Answer 1

Creo que esto es correcto, aunque no puedo cerrar un agujero que pruebe que es al menos $p^2-1$.

Para mostrar que es a lo sumo $p^2-1$, nota que $d$ es coprimo con $p^2$. Los elementos de la serie pasarán por todos los residuos $\bmod p^2$. Llegarás a un número equivalente a $0 \bmod p^2$ cada $p^2$ números, por lo que la racha más larga sin uno será de $p^2-1$.

Para cualquier conjunto finito de números primos $p_i$, podemos mostrar que hay una racha de $p^2-1$ números no divisibles por el cuadrado de ninguno de ellos. Podríamos tomar $p_1=p$. Entonces podemos usar el Teorema Chino del Resto para resolver las ecuaciones $n \equiv d \pmod {p_i^2}$ simultáneamente. Los números $n,n+d,n+2d \ldots n+(p^2-1)d$ no serán divisibles por el cuadrado de ninguno de ellos. No veo cómo extender esto a conjuntos infinitos de números primos.

Answer 2

Encontré una demostración para la conjetura anterior.

Hay un teorema sobre tuplas de la forma $(n+l_1, n+l_2,\ldots,n+l_s)$ que, al especializarse a $l_i=i\cdot d$ para $i=0,\ldots,p^2-1$, dice que para valores grandes de $n$ el porcentaje de tuplas libres de cuadrados entre ellas es aproximadamente $P=\Pi_q(1-u(q)/q^2)$, donde $u(q)=1$ si $q$ divide a $d$ y $u(q)=p^2-1$ en caso contrario. ¡Esto incluye la existencia de tales tuplas! La demostración es a través de métodos de criba.

Aún estaría interesado en tener una prueba más directa.

El teorema anterior parece haber sido probado por primera vez por el matemático indio S. Pillai (On the set of square free numbers, Jour. Indian Math. Soc., New series, II (1936), 116-118).