¿Por qué es $x - a$ un factor de $p(x) - p(a)$?

Question

Estoy leyendo una demostración en un libro de álgebra lineal. Menciona $$p(x) -p(c)= (x - c) h(x),$$ donde $c$ es una constante, y $p(x)$ y $h(x)$ son polinomios.

¿Siempre podemos factorizar $p(x) - p(c)$ de esta manera?

Por favor, proporciona una demostración.

Answer 1

Sea $p(x) = \sum_{i=0}^n p_ix^i$ Ahora $$p(x) - p(a) = \sum_{i=o}^n p_i(x^i-a^i)$$ Usa la fórmula $$x^i-a^i= (x-a)( \sum_{j=0}^{i-i}x^ja^{i-1-j} )$$ (Esto proviene de una serie geométrica) Así que ahora puedes ver que de cada término sale un factor de $x-a$. Por lo tanto, está probado.

Answer 2

Si $R$ es un anillo conmutativo, $f(x)$ es un polinomio en $R[x]$ y $c\in R$, entonces

$f(x)=(x-c)g(x)$ para algún $g(x)\in R[x]$ si y solo si $f(c)=0$

De hecho, la división larga de $f(x)$ por $x-c$ es posible porque $x-c$ es mónico; por lo tanto, $f(x)=(x-c)g(x)+r$, donde $r\in R$. La conclusión ahora es sencilla.

¿Qué puedes decir acerca de $f(x)=p(x)-p(c)$?