No puedo entender la derivación con el falsum involucrado como suposición (estudiando los fundamentos de la lógica).

Question

Hay una captura de pantalla de mi libro de texto con un ejemplo de la derivación que no puedo entender. Entonces se dan dos suposiciones: $\phi$ y $\lnot \phi$, lo cual es básicamente una contradicción. Por lo tanto, se deriva $\bot$. ¿Cómo se justifica luego $\lnot \lnot \phi$? ¿Es porque "cualquier cosa que uno quiera sigue de una contradicción"? Si es así, ¿podríamos deducir $\phi$ o $\lnot \phi$ a partir de la $\bot$ en lugar de $\lnot \lnot \phi$?

Answer 1

Su libro de texto asume que

$\neg \phi \equiv \phi \to \bot$

es decir, se asume que $\neg \phi$ es solo una notación más conveniente para lo que realmente es $\phi \to \bot$. Y correspondientemente, $\neg \neg \phi$ es simplemente $(\phi \to \bot) \to \bot$ disfrazado.
Ahora se vuelve claro que la transición de $\bot$ a $(\phi \to \bot) \to \bot$ es solo una instancia de introducción de implicación: Suponiendo $\phi \to \bot$ (escrito como $\neg \phi$) condujo a $\bot$, así que podemos concluir la implicación $(\phi \to \bot) \to \bot$ (escrito como $\neg \neg \phi)$ y descartar la suposición $\phi \to \bot$. Por eso esta paso está etiquetado como $\to I_1$, introducción de implicación con $_1$ coindexando la suposición $\neg \phi$ que se está descartando en este paso.

Para responder a tu segunda pregunta: También podríamos deducir cualquier cosa de $\bot$ incluyendo $\phi$ o $\neg \phi$, sin embargo esta sería una regla diferente: La regla que nos permite concluir cualquier fórmula a partir de una contradicción es ex falso quodlibet alias principio de explosión, pero esta regla no nos permite descartar ninguna suposición, mientras que $\to I$ en tu fragmento nos permitió deshacernos de la suposición $\neg \phi$. Si no descartáramos esta suposición (por ejemplo porque usamos ex falso), la validez de la fórmula de conclusión $\phi \to \neg \neg \phi$ seguiría dependiendo de la suposición $\neg \phi$.