Usando la invariancia de Lorentz de la carga para calcular la densidad de corriente

Question

Estoy intentando resolver un problema de Zwiebach: A First Course in String Theory y estoy completamente atascado. ¿Podría alguien darme una pista? El problema es el siguiente.

Considera $S$, $S'$ dos marcos de Lorentz con $S'$ acelerado a lo largo del eje $+x$. En el marco $S$ tenemos una caja cúbica con lados de longitud $L$ en reposo. La caja está llena de un material, también en reposo, de densidad de carga uniforme $\rho$. En $S$ asumimos que la densidad de carga $\underline{j}=0$. Utiliza la invarianza de la carga de Lorentz para calcular la densidad de carga $\rho'$ y la densidad de corriente $\underline{j}'$ en $S'$. Verifica que $(c\rho,\underline{j})$ es un 4-vector.

La densidad de carga es fácil. De hecho, $L^3\rho = Q = Q' = L'^3\rho'=\frac{L^3}{\gamma}\rho'$ entonces $\rho' = \gamma \rho. Sé que estoy en lo correcto aquí porque esto coincide con lo que esperaríamos de un 4-vector bajo un impulso de Lorentz.

Para la densidad de corriente intenté usar $0=\frac{\textrm{d}Q}{\textrm{d}t}=\frac{\textrm{d}Q'}{\textrm{d}t'}=\int_S\underline{j}'.\textrm{d}\underline{a}=j'_xL^2$ entonces $\underline{j}'=0$ ya que $j'_y=j'_z=0$ claramente deben ser cero.

Sé que esto está mal, ¡porque no coincide con lo que esperaría de un 4-vector! ¿Dónde estoy fallando? ¿Y es esta la forma correcta de abordar esta pregunta?

¡Muchas gracias de antemano!

Answer 1

En $S'$, hay un flujo de material a través de cualquier superficie de constante $x'$ ya que el material tiene la velocidad del marco $S$ en $S'$. El flujo de material es el producto de la densidad de material en $S'$ y $v_{Sx}$. La invariancia de la carga significa que la densidad de corriente va como el flujo de material$^1$.

$j'_x = \rho' v_{Sx} = \gamma \rho v_{Sx}$

[1] Respuesta extendida para responder al comentario del OP.

Sea $n$ la densidad de número, el número de partículas por unidad de volumen, en el marco de referencia $S$ en el que todas las partículas están en reposo.

Sea $q$ la carga eléctrica, en $S$, transportada por cada partícula.

En $S$, la densidad de carga es $\rho = qn$.

Ahora, sabemos que $n' = \gamma n$ debido a la contracción de longitud.

Sin embargo, solo si $q$ es invariante de Lorentz, entonces $\rho' = qn' = \gamma q n = \gamma \rho$

En $S'$, hay un flujo de número a través de superficies de constante $x'$:

$N'_x = n'v_{Sx} = \gamma n v_{Sx}$.

Pero, dado que cada partícula lleva carga, hay un flujo de carga, una densidad de corriente $j_x = \rho' v_{Sx} = \gamma \rho v_{Sx}$.

Nota que si $q$ no fuera invariante de Lorentz, por ejemplo, $q' = \gamma q$, entonces la densidad de carga y corriente no serían componentes de un cuadrivector sino más bien un cuatrotensor ya que obtendríamos un factor de $\gamma^2$ bajo una transformación de Lorentz.

Answer 2

Hay dos lados en los que integrar. El hecho de que $\int \vec{j}'\cdot\mathrm{d}\vec{S}'=0$ simplemente implica que la densidad de corriente es la misma en todas partes.