Una barra de longitud fija se rompe en 3 piezas. Construir un triángulo.

Question

Una barra de longitud 1 se rompe en 3 piezas de la siguiente manera:

1. Elegimos un punto interior al azar en la barra y la rompemos en dos piezas
2. Después de eso, elegimos la pieza más larga de las dos, elegimos un punto al azar en ella y la volvemos a romper, obteniendo un total de 3 piezas.
3. La tarea es encontrar la probabilidad de que sea posible construir un triángulo usando esas piezas.

Se me ocurrió la siguiente idea:

Sea $X_1, X_2$ una variable aleatoria, distribuida uniformemente en todos los puntos de la barra ($X_1, X_2\in [0,1]$). Es claro que el espacio de probabilidad se puede ilustrar de la siguiente manera (marcado con amarillo):

Y basándonos en la desigualdad del triángulo, podemos resaltar áreas en el gráfico que nos serían útiles en términos de construir un triángulo:

Entonces, tenemos que $|\Omega|=S_{sección amarilla}=\cfrac{3}{4}$ Y la probabilidad que estamos buscando es: $Pr(A)=\cfrac{S_{sección azul}}{S_{sección amarilla}}=\cfrac{1}{3}$. Por lo tanto, la respuesta aquí es $\cfrac{1}{3}$, sin embargo, mi compañero obtuvo un resultado muy diferente, incluyendo $log$. ¿Puedes ayudarme con esta tarea/encontrar el error en mi solución?

Cualquier respuesta es bienvenida y sería muy apreciada.

Answer 1

Su solución no cumple con el protocolo aleatorio descrito en el problema. El segundo corte no se encuentra en un punto aleatorio en $[0,1]$, sino en un punto aleatorio en la pieza más larga del primer corte.

Elige el primer punto de corte en $x\in\,\bigl]{1\over2},1\bigr]$ y el segundo en $xy$ con $y\in\,\bigl]{1\over2},1\bigr]$. La variable $(x,y)$ está distribuida de forma uniforme en el cuadrado $Q:=\bigl]{1\over2},1\bigr]^2$ de área ${1\over4}$. De esta manera obtenemos tres piezas de longitud $$\ell_1=xy,\quad \ell_2=x-xy=x(1-y),\quad \ell_3=1-x\ .$$ Los $\ell_i$ pueden ser los lados de un triángulo si todos son $<{1\over2}$. Para $\ell_2$ y $\ell_3$ esto es automáticamente el caso, y nos queda la condición $\ell_1=xy<{1\over2}$. Sea $S$ la parte correspondiente de $Q$. La probabilidad requerida entonces es $$p={{\rm área}(S)\over{\rm área}(Q)}=4\int_{1/2}^1\left({1\over2x}-{1\over2}\right)dx=\ldots=2\log2-1\approx0.3863\ .$$