Semigrupo de probabilidad y operadores diferenciales de segundo orden

Question

Cuando se trabaja con cadenas de Markov, a menudo es necesario observar el semigrupo asociado a ella:

$$ T(t)f (x) = \Bbb{E}^{\Bbb{P_x}}\big[f(X_t)\big]$$

Más precisamente, estos semigrupos son semigrupos de probabilidad. Es decir, cumplen (ver Liggett - Procesos de Markov en tiempo continuo pág. 93):

Existe una correspondencia biunívoca entre los procesos Feller y los semigrupos de probabilidad.

El teorema de Hille Yosida establece una correspondencia biunívoca entre los semigrupos de probabilidad y los generadores de probabilidad.

El generador es la derivada temporal del semigrupo.

A menudo es un operador de segundo orden.

según Liggett (pág. 98)

No necesariamente tiene que ser de segundo orden, puede ser $L f = f'$ el generador asociado con el proceso $X_t = x_0 + t$.

¿Hay un ejemplo de un generador de probabilidad que sea de orden superior? ¿digamos, un operador diferencial de cuarto orden?

Answer 1

El generador $\mathcal L$ satisface un principio máximo: Si $f$ (en el dominio de $\mathcal L$) alcanza su máximo global en $x_0$, entonces $\mathcal L f(x_0)\le 0$. Esto descarta los operadores diferenciales de orden superior a segundo. Por ejemplo, $f(x)=\cos x$ alcanza su valor máximo de $1$ en $x_0=0$, pero $f^{(4)}(0) =\cos(0)=1>0$.

El principio máximo se sigue de la fórmula $\mathcal Lf(x)=\lim_{t\downarrow 0}[T(t)f(x)-f(x)]/t$, porque si $f$ alcanza su valor máximo en $x_0$ entonces $T(t)f(x_0)=\Bbb E^{x_0}[f(X_t)]\le\Bbb E^{x_0}[f(x_0)]=f(x_0)$.