Evaluar $(1+i)^{(1-2i)}$

Question

Encuentra todos los valores de $(1+i)^{(1-2i)}$ y muestra que hay valores pequeños como deseemos (distintos de $0$) y valores grandes como deseemos

\begin{align} (1+i)^{(1-2i)}&=e^{\ln(1+i)^{(1-2i)}} =e^{(1-2i)\ln(1+i)} \\&=e^{(\ln\sqrt{2}+i(\frac{\pi}{2}+2\pi k))(1-2i)} \\&=e^{\ln\sqrt{2}-2\ln\sqrt{2}*i+i(\frac{\pi}{2}+2\pi k)+2(\frac{\pi}{2}+2\pi k))} \\&=\sqrt{2}*e^{-2\ln\sqrt{2}*i}*i*e^{2(\frac{\pi}{2}+2\pi k)} \\&=e^{-2\ln\sqrt{2}*i+\pi+4\pi k}+i\sqrt{2} \\&=e^{-i(2\ln\sqrt{2}+i(\pi+4\pi k))}+i\sqrt{2} \\&=e^{-i}*e^{(2\ln\sqrt{2}+i(\pi+4\pi k))}+i\sqrt{2} \\&=\frac{3}{4}*e^{(2\ln\sqrt{2}+i(\pi+4\pi k))}+i\sqrt{2} \\&=\frac{3}{4}*2e^{i(\pi+4\pi k)}+i\sqrt{2} \\&=\frac{-3}{2}+i\sqrt{2} \end{align}

¿Qué puedo concluir de los valores?

¿O debo detenerme aquí $e^{-2\ln\sqrt{2}*i+\pi+4\pi k}+i\sqrt{2}$ y $e^{\pi+4 \pi k}cis(-2\ln\sqrt{2}+\frac{\pi}{2})$?

Answer 1

Pista. Nota que $|e^z|=|e^{\text{Re}(z)+i\text{Im}(z)}|=e^{\text{Re}(z)}$, por lo tanto aquí estamos interesados en (ve tu tercer paso donde el argumento correcto de $(1+i)$ es $\pi/4+2\pi k$) $$\text{Re}(\ln\sqrt{2}+i(\frac{\pi}{4}+2\pi k))(1-2i))=\ln\sqrt{2}+\pi\left(4k+\frac{1}{2}\right)$$ donde $k\in\mathbb{Z}$. Ahora considera los límites cuando $k\to \pm \infty$.

Answer 2

Solo debería haber un valor. $$(1+i)^{1-2i}=(\sqrt 2e^\dfrac{i\pi}{4})^{1-2i}=\sqrt 2e^\dfrac{i\pi}{4}(0.5e^\dfrac{-i\pi}{2})^i=\sqrt 2e^\dfrac{\pi}{2}e^{i(\dfrac{\pi}{4}+\ln 0.5)}$$