Expanding a bit more on my answer to the linked question, la lógica proposicional es en efecto un poco absurda en la medida en que estamos interesados en la lógica desde la perspectiva de clasificar o analizar estructuras matemáticas. Esto no quiere decir que sea totalmente desinteresante, pero ciertamente goza de un interés mucho más limitado que, por ejemplo, la lógica de primer orden.
Un lenguaje proposicional es simplemente un conjunto de átomos proposicionales $P=\{p_i:i\in I\}$; una "estructura" en este lenguaje es simplemente una valuación, es decir, un mapeo $$v:Sent_P\rightarrow \{\top,\perp\}$$ (donde "$Sent_p$" es el conjunto de oraciones que se pueden formar a partir de los átomos en $P$) que satisface algunas propiedades básicas como $v(a\wedge b)=\top\iff v(a)=\top$ y $v(b)=\top$. La relación de satisfacción es entonces simplemente $$v\models\varphi\iff v(\varphi)=\top.$$
Ahora, una valuación ya no parece particularmente interesante, pero empeora:
-
Una valuación $v$ está determinada enteramente por su comportamiento en $P$, es decir, por $\{i: v(p_i)=\top\}$.
-
Recíprocamente, cualquier mapeo $v_0: P\rightarrow\{\top,\perp\}$ se extiende a una valuación única: para cada mapeo $v_0$ existe exactamente una valuación $v$ con $v\upharpoonright P=v_0$.
Y un mapeo $v_0:P\rightarrow\{\top,\perp\}$ puede ser equiparado con el conjunto $v_0^{-1}(\top)$. Así que podemos simplificar las cosas aún más: nuestro "universo semántico" es simplemente $\mathcal{P}(P)$, el conjunto de subconjuntos de $P$.
Por el contrario, una estructura en el sentido de la lógica de primer orden es un objeto mucho más interesante: es un conjunto equipado con algunos constantes, funciones y relaciones "nombradas" (según el lenguaje involucrado). Muchas estructuras matemáticas son de hecho estructuras en este sentido preciso, como grupos, anillos, campos, etc. Por ejemplo, la clase de estructuras $\{*\}$ (para $*$ un símbolo de función binaria) contiene (en un sentido preciso) ¡la clase de todos los grupos! Así que la semántica de la lógica de primer orden es bastante amplia e interesante. En particular, con frecuencia nos importan las teorías de primer orden de estructuras de primer orden específicas (por ejemplo, el anillo de los reales es fundamentalmente menos complicado que el anillo de los enteros según Tarski y Godel) pero casi nunca nos importan las teorías proposicionales de "estructuras" proposicionales (fuera de un contexto de teoría de la complejidad, desde la perspectiva de la cual la lógica proposicional es en efecto interesante).
