$\log^2(x-1)$ vs. $\log(x-1)^2$

Question

Resolver para $x$ en $\mathbb{R}$:

$$\log^2(x-1) - \log(x-1)^2 = 0$$

Si hago que el primero sea $x$ y el segundo $y$, tengo que $x = y$, y por lo tanto la solución debería ser $x \in\, ]0;+\infty[$ or $\mathbb{R+}$

Sin embargo, mi libro dice que la solución es $x =2 \lor x=101$.

¿Me faltó algo? Copié el problema tal como está.

Answer 1

Factoriza la ecuación: $$\log(x-1)[\log(x-1)-2]=0, \text{ por lo tanto } \begin{cases}\log(x-1)=0\\\text{o}\\ \log(x-1)=2\end{cases}\iff\begin{cases}x-1=1\\\text{o}\\x-1=10^2.\end{cases}$$

Answer 2

Deja que $u=\log(x-1)$. Entonces tu ecuación es $u^2-2u=0$, entonces $u(u-2)=0$, así que $u=0$ o $u=2.

Si $u=0$ entonces $\log(x-1)=0$, así que $x-1=1$ o $x=2$. Si $\log(x-1)=2$ entonces $x-1=100$ o $x=101$.

Answer 3

El libro probablemente pretende que sea

Resolver para $x$ en $\mathbb{R}$: $$\big[\log(x-1)\big]^2 - \log\big[(x-1)^2\big] = 0$$

Esto es equivalente a $$\big[\log(x-1)\big]^2 - 2\log\big[(x-1)\big] = 0$$ lo cual implica que $$\log(x-1)\big[\log(x-1)-2\big] = 0$$ ¡Las soluciones deberían ser obvias ahora!