Demostrar que la sucesión $\{x_n\} = \{q^n,\ |q|<1\}$ es una sucesión de Cauchy

Question

Hasta ahora solo he demostrado este hecho suponiendo que tanto $\{x_n\},\ \{x_m\}$ son positivos o negativos:

Sea $\varepsilon >0$. Demostraré que dado $\varepsilon = 2|q|^N$, la sucesión está acotada por $\varepsilon$.

Sabemos que $|q|<1$. Entonces $|q|\cdot|q|^n = |q|^{n+1}<|q|^n \implies \{x_n\}>\{x_{n+1}\}$, por lo que $\{x_n\}$ es decreciente para $\{x_n\} > 0$.

Ahora, si $N = \min\{m, n\}$, entonces $|q|^n+|q|^m < 2|q|^N$. Podemos demostrar que si a, b son ambos positivos o ambos negativos, entonces $|a-b|\leq |a+b|$.

Sustituyendo $a = q^n,\ b=q^m$ tenemos que $|q^n- q^m|\leq|q^n+ q^m|\leq |q^n|+ |q^m|< \varepsilon= 2|q|^N$. Entonces, $|q^n- q^m|<\varepsilon$ y es una sucesión de Cauchy.

Mi problema aquí es que no tengo idea de qué hacer si $\{x_m\}<0$ y $\{x_n\}>0$. ¿Se puede resolver de esta manera?

Gracias.

Answer 1

Se puede demostrar fácilmente que si $0\le q<1$ entonces $q^n\to 0.$ (De hecho, probablemente es mucho más fácil demostrar esto desde el principio, y luego la secuencia es $\textit{automáticamente}$ Cauchy.)

Ahora, si $-1 entonces $q^n=(-1)^n|q|^n$ y ya que has demostrado que $|q|^n$ es Cauchy, se sigue del hecho de que $-|q|^n\le (-1)^n|q|^n\le |q|^n$ y $|q|^n\to 0,$ que $(-1)^n|q|^n$ es Cauchy.