Evaluando el límite $\lim_{x\to0_+} \frac{\sqrt{2x(1-x)} \log(1-x^2)}{(1-\cos x)\sqrt{\sin x}}$

Question

Encuentra el límite $$\lim_{x\to0_+} \frac{\sqrt{2x(1-x)} \log(1-x^2)}{(1-\cos x)\sqrt{\sin x}}.$$

Primero lo he reescrito como $$\sqrt{ \frac{2x(1-x)}{\sin x}} \frac{\log(1-x^2)}{1-\cos x}$$

Ahora podemos usar la aproximación $\sin x = x + O(x^3)$ para ver que el factor izquierdo convergerá a $\sqrt{2}$, ¿cierto? Luego he utilizado L'Hospital y la misma aproximación para $\sin x$ para encontrar que el factor derecho converge a $-2$. Por lo tanto, el límite original es $-2 \sqrt{2}$.

¿Es esto correcto? ¿Hay una mejor manera de hacerlo?

Answer 1

Usando la serie de Taylor:

$$ \frac{\sqrt{2x(1-x)} \log(1-x^2)}{(1-\cos x)\sqrt{\sin x}}\sim_0\frac{-\sqrt{2x}x^2}{\frac{x^2}{2}\sqrt x}=-2\sqrt2\leftarrow\text{el límite deseado}$$

Answer 2

$$\lim_{x\to0_+} \frac{\sqrt{2x(1-x)} \log(1-x^2)}{(1-\cos x)\sqrt{\sin x}}$$

$$=\sqrt2\sqrt{\lim_{x\to0_+}(1-x)}\cdot\frac1{\sqrt{\lim_{x\to0_+}\dfrac{\sin x}x}}\cdot\lim_{x\to0_+}(1+\cos x)\cdot\lim_{x\to0_+}\frac{\ln(1-x^2)}{(-x^2)}\cdot\lim_{x\to0_+}\frac{-x^2}{(1-\cos^2x)} $$

Para el último límite $$\lim_{x\to0_+}\frac{-x^2}{(1-\cos^2x)}=-\frac1{\left(\lim_{x\to0_+}\dfrac{\sin x}x\right)^2}=\cdots $$

El resto se puede manejar usando $$\lim_{h\to0}\frac{\sin h}h=1=\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+h)}h$$

Answer 3

Has encontrado el enfoque correcto. Usaría tu conocimiento sobre las aproximaciones de Taylor para dividir inteligentemente el límite en 2 límites más simples y luego ser más formal al resolverlo.

$$\begin{align} \lim_{x\to0_+} \frac{\sqrt{2x(1-x)} \log(1-x^2)}{(1-\cos x)\sqrt{\sin x}} &= \lim_{x\to0_+} \left(\sqrt{ \frac{2x(1-x)}{\sin x}} \frac{\log(1-x^2)}{1-\cos x}\right)\\ &= \lim_{x\to0_+} \sqrt{ \frac{2x(1-x)}{\sin x}} \cdot \lim_{x\to0_+}\frac{\log(1-x^2)}{1-\cos x}\\ &= \sqrt{\lim_{x\to0_+} \frac{2x(1-x)}{\sin x}} \cdot \lim_{x\to0_+}\frac{\log(1-x^2)}{1-\cos x}\\ \text{L'Hopital on both limits}\\ &= \sqrt{\lim_{x\to0_+} \frac{2 - 4x}{\cos x}} \cdot \lim_{x\to0_+}\frac{\dfrac{-2x}{1 - x^2}}{\sin x}\\ &= \sqrt{2} \cdot \lim_{x\to0_+}\frac{-2x}{\sin x(1-x^2)}\\ \text{L'Hopital again}\\ &= \sqrt{2} \cdot \lim_{x\to0_+}\frac{-2}{\cos x - 2x\sin x - x^2 \cos x}\\ &= -2\sqrt{2} \end{align} $$

Ahora que vuelvo a mirar tu pregunta, me doy cuenta de que esto es casi exactamente cómo explicaste tu solución. Bueno, así es la vida.

Answer 4

$$\begin{aligned}\lim _{x\to 0}\left(\frac{\sqrt{2x\left(1-x\right)}\:\log \left(1-x^2\right)}{\left(1-\cos \:\:x\right)\sqrt{\sin \:\:x}}\right) \\& \approx_0 \lim _{x\to 0}\left(\frac{-\sqrt{2x\left(1-x\right)}\:x^2}{\left(1-\cos \:\:x\right)\sqrt{\sin \:\:x}}\right) \\& \approx_0 \lim _{x\to 0}\left(\frac{-\sqrt{2x\left(1-x\right)}\:x^2}{\left(1-\cos \:\:x\right)\sqrt{x}}\right) \\& \approx_0 \lim _{x\to 0}\left(\frac{-\sqrt{2x\left(1-x\right)}\:x^2}{\left(\frac{x^2}{2}\right)\sqrt{x}}\right) \\& \approx_0\lim _{x\to 0}\left(\frac{-\sqrt{2x}\:x^2}{\left(\frac{x^2}{2}\right)\sqrt{x}}\right) \\& = \color{red}{-2\sqrt{2}} \end{aligned}$$