Encontrar el máximo y mínimo en $f(x) = 5\sin x + 12\sin(x+\frac{\pi}{3})$

Question

Para la función $f(x) = 5\sin x + 12\sin(x+\frac{\pi}{3})$, encuentra el valor máx y mín que la función puede tener.

Pensamientos propios

Primero noté que la función no tenía una constante, por lo que el máx = |amplitud|, lo que también significa que el mín = -|amplitud|.

Intenté lo que pude reescribiendo la función, porque sé que el coeficiente de la función trigonométrica es su amplitud; lamentablemente no tuve éxito.

$5\sin x+12\sin(x+\frac{\pi}{3}) = 5\sin x + 12(\sin x\cos\frac{\pi}{3}+\cos x\sin\frac{\pi}{3}) =\\= 5\sin x+ 6\sin x + 6\sqrt3\cos x = 11\sin x + 6\sqrt3\cos x$

Aún hay un término de $\cos$. ¿Cómo puedo resolver esto?

Answer 1

Pista: Una vez que tengas una expresión en la forma $a\sin x+b\cos x$, piensa en ella como estando en la forma $$\sqrt{a^2+b^2}\left({a\over\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+{b\over\sqrt{a^2+b^2}}\cos x \right)$$

Luego piensa en $a/\sqrt{a^2+b^2}$ y $b/\sqrt{a^2+b^2}$ como el seno y coseno (o viceversa) de algún ángulo $\phi$.