Distribución de golpear momento de la línea por el movimiento Browniano

Question

Me encontré con la siguiente pregunta:

Deje $T_{a,b}$ denotar el primero golpeando el tiempo de la línea de $a + bs$ por un estándar Browniano movimiento, donde $a > 0$ $−\infty &lt b &lt \infty$ y deje $T_a = T_{a,0}$ representan la primera golpeando el tiempo del nivel $a$.

1) Por $\theta > 0$, utilizando el hecho de que $\mathbb{E}e^{-\theta T_a}=e^{-a\sqrt{2\theta}}$, o de lo contrario, derivar una expresión para $Ee^{-\theta T_{a,b}}$, para cada uno de los $b$, $−\infty &lt b &lt \infty$.

2) por eso, o por el contrario, muestran que, para $t > 0$, $$\mathbb{P}[T_{a,b}\leq t] = e^{-2ab}\phi\left(\frac{bt-a}{\sqrt{t}}\right)+1-\phi\left(\frac{a+bt}{\sqrt{t}}\right).$$

Para la primera parte, que terminó, por cambio de medida, con el (no verificado) en la expresión

$$\mathbb{E}e^{-\theta T_{a,b}}=\exp\left(-a\left[b+\sqrt{2\left(\theta+\frac{b^2}{2}\right)}\right]\right).$$

¿Cuál es la forma más limpia para hacer la segunda parte? Parece que podría hacer algún tipo de transformación inversa en el momento de generación de función, o bien, calcular el momento de generación de la función de la distribución dada. Ambos de estos que parecen difíciles. Me estoy perdiendo algo, o ¿sólo tengo que perseverar?

Gracias.

Answer 1

Primera parte

La densidad de probabilidad de $T_{a,0}$ es conocida: $$ f_{T_{a,0}}(t) = \frac{a}{\sqrt{2 \pi}} t^{-3/2} \exp\left( -\frac{a^2}{2} \right) $$ A partir de aquí, para $\theta >0$,
$$ \mathbb{E}\left( \mathrm{e}^{-\theta T_{a,0}} \right) = \int_0^\infty \frac{a}{\sqrt{2 \pi t}} \exp\left( -\theta t -\frac{a^2}{2} \right) \frac{\mathrm{d} t}{t} \stackrel{t = a^2 u}{=} \int_0^\infty \frac{1}{\sqrt{2 \pi u}} \exp\left( -\theta^2 u -\frac{1}{2 u} \right) \frac{\mathrm{d} u}{u} $$ De acuerdo a Grandstein y Ryzhyk, fórmula 3.471.9, véase también el de matemáticas.SE pregunta, tenemos: $$ \mathbb{E}\left( \mathrm{e}^{-\theta T_{a,0}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \a la izquierda. 2 \left(2 \theta^2\right)^{\nu/2} K_{\nu}\left( 2 \sqrt{\frac{\theta^2}{2}} \right) \right|_{\nu = \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sqrt{2\theta} un K_{1/2} (\sqrt{2 \theta} ) = \mathrm{e}^{- \sqrt{2 \theta}} $$

El tiempo de $T_{a,b}$ para el estándar de movimiento Browniano $B(t)$ a golpear pendiente $a+ b t$, es la igualdad en la distribución del tiempo para el proceso de Wiener $W_{-b, 1}(t)$ a nivel de impacto se $a$. Por lo tanto, podemos utilizar el teorema de Girsanov, con $M_t = \exp(-b B(t) - b^2 t/2)$: $$ \mathbb{E}_P\left( \mathrm{e}^{-\theta T_{a,b}} \right) = \mathbb{E}_Q\left( \mathrm{e}^{-\theta T_{a,0}} M_{T_{a,0}} \right) = \mathbb{E}_Q\left( \mathrm{e}^{-\theta T_{a,0}} \mathrm{e}^{-b a - b^2 T_{a,0}/2} \right) = \exp(-b, a - a \sqrt{b^2 + 2\theta}) $$

Segunda parte

Con el fin de llegar a $\mathbb{P}(T_{a,b} \leqslant t)$ aviso que $$ \mathbb{P}(T_{a,b} \leqslant t) = \mathbb{E}_Q\left( [T_{a,0} \leqslant t] \mathrm{e}^{-b a - b^2 T_{a,0}/2} \right) = \int_0^t \frac{a}{\sqrt{2 \pi s}} \exp\left( -b, a - \frac{b^2}{2} -\frac{a^2}{2} \right) \frac{\mathrm{d} s}{s} $$ La integral es factible por darse cuenta de que $$ -b a - \frac{b^2}{2} -\frac{a^2}{2} = -\frac{(a+b s)^2}{2} = -2a b -\frac{(a-b, s)^2}{2} $$ y $$ \frac{a}{s^{3/2}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \frac{-2a}{\sqrt{s}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} s} \left( \frac{b, s - a}{\sqrt{s}} - \frac{b s + a}{\sqrt{s}}\right) $$ Por lo tanto $$ \begin{eqnarray} \mathbb{P}(T_{a,b} \leqslant t) &=& \int_0^t \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left(- \frac{(a+bs)^2}{2 s}\right) \mathrm{d} \left( - \frac{b s + a}{\sqrt{s}} \right) + \\ &\phantom{+}& \int_0^t \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp(-2ab) \exp\left(- \frac{(b s-a)^2}{2 s}\right) \mathrm{d} \left( \frac{b s - a}{\sqrt{s}} \right) \\ &=& -\Phi\left( \frac{b t + a}{\sqrt{t}} \right) + \lim_{t \searrow 0} \Phi\left( \frac{b t + a}{\sqrt{t}} \right) + \\ &\phantom{=}& \mathrm{e}^{-2 a b} \Phi\left(\frac{b t - a}{\sqrt{t}} \right) - \mathrm{e}^{-2 a b} \lim_{t \searrow 0} \Phi\left(\frac{b t - a}{\sqrt{t}} \right) \end{eqnarray} $$ donde $\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-z^2/2} \mathrm{d} z$ es la función de distribución acumulativa de la variable normal estándar. Desde que asumió $a > 0$, $$ \lim_{t \searrow 0} \Phi\left( \frac{b t + a}{\sqrt{t}} \right) = \Phi(+\infty) = 1 \qquad \lim_{t \searrow 0} \Phi\left( \frac{b t - a}{\sqrt{t}} \right) = \Phi(-\infty) = 0 $$ y llegamos a.c.d.f de la inversa Gaussiana de la variable aleatoria: $$ \mathbb{P}(T_{a,b} \leqslant t) = 1 - \Phi\left( \frac{b t + a}{\sqrt{t}} \right) + \mathrm{e}^{-2 a b} \Phi\left( \frac{b t - a}{\sqrt{t}} \right) $$