Usando transformadas de Laplace para resolver un problema de valor inicial de una función definida por partes

Question

Quiero usar transformadas de Laplace para resolver lo siguiente:

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$$\frac{d^2 y}{dt^2}+16 y = f(t) = \left\{\begin{array} 1 1&t\lt\pi\\0&t\geq \pi\end{array}\right.\text{ con } y(0)=0 \text{ y } \frac{dy}{dt}(0)=0$$

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¿Puedo tener alguna dirección sobre cómo resolver esto? He escuchado que puedo usar un teorema de desplazamiento. ¿Hay alguna forma de hacer esto sin usar dicho teorema de desplazamiento?

¡Un enlace al recurso adecuado sería suficiente para agradecer!

Answer 1

Puedes definir una función por partes usando la Función Escalón de Heaviside y luego tomar la Transformada de Laplace de eso.

En general, si:

$$f(t)= \left\{\begin{array} fg(t) &0 \le t < a\\h(t) &t \ge a \end{array}\right.$$

entonces:

$$f(t) = g(t) - g(t)u(t-a) + h(t) u(t-a)$$

En tu ejemplo, tenemos:

$$\tag 1 f(t) = 1 - (1)u(t- \pi) + (0) u(t- \pi) = 1 - 1~u(t- \pi)$$

Por supuesto, puedes hacerlo de otras formas y aquí tienes un ejemplo (usa la definición directamente), Transformada de Laplace de la función escalón unitario.

La Transformada de Laplace de $(1)$ es:

$$\mathscr{L} (1 - 1~u(t-\pi)) = \dfrac{1}{s} - \dfrac{e^{-\pi s}}{s} = \dfrac{1 - e^{-\pi s}}{s}$$

La Transformada de Laplace de la otra parte con condiciones iniciales es:

• $\mathscr{L} (y''(t)) = s^2y(s) -s y(0) -y'(0) = s^2y(s)$
• $\mathscr{L} (16y(t)) = 16y(s)$

Juntando todo obtenemos:

$$y(s) = \dfrac{1 - e^{-\pi s}}{s(s^2 + 16)}$$

Supongo que puedes continuar a partir de aquí.

Answer 2

Este es el preguntador tratando de construir una respuesta, pero no va bien. ¿Creo que tal vez debo usar la función de Heaviside?

Esto se resolverá usando la segunda propiedad de desplazamiento:

$g(t)= \left\{\begin{array}ff(t-a) &t\gt a\\0 &t\lt a \end{array}\right.$

$$\mathcal{L}\{g(t)\}=\int_{-\infty}^\infty e^{-st}g(t) dt$$

Primero necesitamos reconocer con qué estamos trabajando. Así que queremos que $0\to\pi$ sean los límites de una parte de la integral anterior, y $\pi\to\infty$ el segundo límite.

$$\int_{-\infty}^\pi e^{-st}g(t) dt$$