Completitud de un espacio métrico $(\mathbb{R},d_2)$.

Question

Estoy tratando de demostrar que $(\mathbb{R},d_2)$, donde $d_2 (x,y) = |\phi(x) - \phi(y)|, \forall x,y \in \mathbb{R}$ no es completo. Definimos $\phi: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ como: $$\phi(t) = \frac{t}{1+|t|}, \forall t \in \mathbb{R}.$$ Estaba tratando de encontrar una sucesión de Cauchy que no converge pero no pude encontrar un ejemplo para demostrarlo. Además, sé que un espacio normado $X$ es completo si, y solo si, cada serie absolutamente convergente es convergente, pero no sé si eso puede ser útil aquí.

Answer 1

La razón por la que $d_2$ no es completo es que se puede tener, por ejemplo, una secuencia $(a_n)_{n\geq 1}$ divergiendo a $+\infty$ en $\mathbb{R}$, luego $\phi(a_n)$ convergería a $1$ en $[0,1]$ equipado con la métrica euclidiana. Sin embargo, la imagen de $\mathbb{R}$ bajo $\phi$ no es $[0,1]$, sino $(0,1)$. Entonces, como $(\phi(a_n))_{n\geq 1}$ es una secuencia convergente a $1$ en $\mathbb{R}$ (en el sentido euclidiano), es de Cauchy, pero como no hay $x \in \mathbb{R}$ tal que $\phi(x) = 1$, no puede ser convergente. Por lo tanto, se podría tomar $a_n = n$ como ejemplo.

Esto puede ser "arreglado" si consideramos la recta real extendida $\overline{\mathbb{R}}$ y definimos $\phi(-\infty) = -1, \phi(\infty) = 1$. Lo que se obtiene entonces es precisamente la compactificación de dos puntos de la recta real.