Intuición sobre el segundo teorema del isomorfismo

Question

En la teoría de grupos tenemos el segundo teorema de isomorfismo que se puede enunciar de la siguiente manera:

Sea $G$ un grupo y sea $S$ un subgrupo de $G$ y $N$ un subgrupo normal de $G$, entonces:

1. El producto $SN$ es un subgrupo de $G$.
2. La intersección $S\cap N$ es un subgrupo normal de $G$.
3. Los grupos cociente $SN/N$ y $S/(S\cap N)$ son isomorfos.

He visto este teorema por un tiempo ahora y todavía no puedo captar una intuición para él. Quiero decir, ciertamente es un resultado importante, porque según he visto se destaca como uno de los tres teoremas de isomorfismo.

El primer teorema de isomorfismo tiene una intuición mucho más directa. Tenemos los grupos $G$ y $H$ y un homomorfismo $f:G\to H$. Si este $f$ no es inyectivo, podemos cocientar lo que impide que sea inyectivo y elevarlo a $G/\ker f$ como un isomorfismo a su imagen.

¿Existe alguna interpretación agradable como esa para el segundo teorema de isomorfismo? ¿Cómo deberíamos entender realmente este teorema?

Answer 1

Supongo que estás teniendo dificultades intuitivas con la tercera declaración del teorema. Déjame intentar darte una explicación intuitiva. Cada elemento de $SN$ es de la forma $sn$ con $s \in S$ y $n \in N$. Ahora en $SN/N$ los $n$ son 'eliminados' en el sentido de que en este grupo $\overline{sn}=\overline{s}$ para $s \in S$ y $n \in N$. Sin embargo, no nos queda un grupo que sea isomorfo a $S$, porque si $s \in N$, es decir si $s \in S \cap N$, entonces $s$ también es la identidad en $SN/N$. Así que nos queda con $S$, pero con la parte restante de $N$ completamente filtrada, es decir $$\frac{SN}{N} \cong \frac{S}{S \cap N}$$

Answer 2

Supongamos que se cae la condición de que $N$ es normal en $G$. Entonces $S,N$ son simplemente subgrupos de $G$. En este caso, solo podemos hablar sobre la igualdad del número de coclases. $$|SN\colon N| = |S\colon S\cap N|.$$ Pero cuando $N$ es normal, entonces podemos hablar seguramente sobre el cociente, y no solo por $N$ sino también con algún otro subgrupo, y también isomorfismo entre ellos (que son las declaraciones (1), (2), (3) en la pregunta). Creo que esta situación se puede mostrar mejor a través del diagrama:

Si $N$ es normal en $G$, entonces $N$ debería ser normal en cada subgrupo en el que está contenido. Entonces, si $S$ es otro subgrupo, entonces $N$ está ciertamente contenido en $SN$ y por lo tanto $N\trianglelefteq SN$ (parte izquierda del diagrama). El teorema de isomorfismo del que estás preocupado dice, entonces $S\cap N$ es normal en $S$ (parte derecha del diagrama) y los grupos cociente correspondientes (piensa en secciones de línea roja) son isomorfos.

Probar este isomorfismo es álgebra elemental; no es necesario pensar en ningún mapeo extraño; es el más natural que todos pueden pensar y por lo tanto, en mi opinión, el diagrama que la prueba de este teorema que debe ser entendido al principio.

Answer 3

Tenemos un homomorfismo sobreyectivo $$f : S \to \frac{SN}{N}$$ dado por $f(s) = sN$. Tenemos $\ker(f) = S \cap N$, entonces $$\frac{S}{S \cap N} \cong \frac{SN}{N}$$ En otras palabras, si $f$ no es inyectiva, dividimos por el núcleo para obtener un isomorfismo, exactamente como lo hacemos para demostrar el primer teorema de isomorfismo. En otras palabras, nos gustaría que cada cociente $sN \in SN/N$ se corresponda con $s \in S$. Pero si $s \in N$, entonces $sN = N$, por lo que en cambio se corresponde con un cociente $s(S \cap N) \in S/(S \cap N)$.

Answer 4

Hay dos hechos adicionales que, en mi opinión, hacen que esto sea algo más obvio. Primero,

• Sea $\pi$ la proyección $G \to G/N$.
• Sea $\sim$ la relación de congruencia definida por $N$; es decir, $x \sim y$ si y solo si $xy^{-1} \in N$.

El primer hecho clave es

$$ \pi(S) = (SN) / N $$

donde $\pi(S)$ significa $\{ \pi(s) \mid s \in S \}$. Puedes pensar en $SN$ como el subgrupo de todo en $G$ que es congruente (por $\sim$) a un elemento de $S$.

El teorema del isomorfismo afirma que el lado derecho está bien definido:

• $SN$ es un subgrupo de $G$
• $N$ es un subgrupo normal de $SN$

El segundo hecho clave es que $\sim$ es una relación de congruencia en $S$, y $S \cap N$ es la clase de congruencia de cero. Entonces tienes

$$ S /{ \sim} = S / (S \cap N) $$

donde la notación en la izquierda significa tomar el cociente de $S$ por la relación de congruencia $\sim$; es decir, es el conjunto de clases de congruencia, como de costumbre. El teorema del isomorfismo también afirma que esto está bien definido:

• $S \cap N$ es un subgrupo normal de $S$

Finalmente, el teorema del segundo isomorfismo afirma

$$ \pi(S) \cong S / {\sim} $$

Con nuestras interpretaciones de ambos lados, podemos ver fácilmente esto como una aplicación del primer teorema del isomorfismo.

Answer 5

Creo que la motivación del segundo teorema de isomorfismo es parcialmente clara a partir del siguiente teorema:

$G$ es un grupo finito. $S$ y $N$ son subgrupos de $G$. Entonces $|S||N|=|SN||S\cap N|$. (¡Nota que aquí $SN$ puede que ni siquiera sea un grupo!)

(Como se puede ver en el siguiente diagrama, llamado el retículo de subgrupos: )