Ceros triviales de la función Zeta de Riemann

Question

Una pregunta que me ha estado desconcertando durante bastante tiempo:

¿Por qué el valor de la función Zeta de Riemann es igual a $0$ para cada número negativo par?

Supongo que negativo par se refiere a la parte real del número, mientras que su parte imaginaria es $0$.

Así que considera $-2$ por ejemplo:

$f(-2) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{-2}} = \frac{1}{1^{-2}}+\frac{1}{2^{-2}}+\frac{1}{3^{-2}}+\dots = 1^2+2^2+3^2+\dots = \infty$

¿Qué estoy pasando por alto aquí?

Answer 1

La función Zeta se define como $\zeta(s)=\sum_{n\ge1}n^{-s}$ solo para $s\in\mathbb{C}$ con $\Re(s)>1!

La función en todo el plano complejo (excepto algunos polos) es la continuación analítica de esa función.

En la página de Wikipedia, puedes encontrar la fórmula: $$\zeta(s)=\frac{2^{s-1}}{s-1}-2^s\int_0^\infty\frac{\sin(s\arctan t)}{(1+t^2)^{\frac{s}{2}}(e^{\pi t}+1)}dt$$ para $s\neq 1$. Tal vez trabajar en esta integral para $s$ un entero negativo te dará el resultado.

Answer 2

Esa suma no está definida para valores negativos.