¿Cómo abordo este $\int_{0}^{1}{x^n\over \ln{y}+\ln{x}}dx$?

Question

¿Cómo integro

$$I=\int_{0}^{1}{x^n\over \ln{y}+\ln{x}}dx\tag1$$

Sinceramente no tengo ni idea de por dónde empezar. ¿Alguna pista por favor?

Sea $\ln{x}=-u\rightarrow du=-xdx$

$x=0\rightarrow u=\infty$

$x=1\rightarrow u=0$

$$I=-\int_{\infty}^{0}{e^{-u(n+1)}\over \ln{y}+u}du\tag2$$

Answer 1

Tenemos $$I=\int_{0}^{1}\frac{x^{n}}{\log\left(xy\right)}dx\overset{xy=u}{=}\frac{1}{y^{n+1}}\int_{0}^{y}\frac{u^{n}}{\log\left(u\right)}du. $$ Ahora consideremos $$I\left(a\right)=\int_{0}^{y}\frac{u^{n+a}}{\log\left(u\right)}du $$ notamos que $$I'\left(a\right)=\int_{0}^{y}u^{n+a}du=\frac{y^{n+a+1}}{n+a+1} $$ por lo tanto, recordando la definición del integral exponencial, tenemos $$I\left(a\right)=\textrm{Ei}\left(\log\left(y^{n+a+1}\right)\right) $$ entonces $$I=I\left(0\right)=\frac{\textrm{Ei}\left(\log\left(y^{n+1}\right)\right)}{y^{n+1}}.