La longitud de una perpendicular dentro de un triángulo

Question

Sea $ABC$ un triángulo con su área $S$ y $AB=c$, $BC=a$, $AC=b$. La mediana desde $A$ interseca la bisectriz del ángulo $ABC$ en $X$. Si $x=\ $la longitud de la perpendicular desde $X$ en $BC$ entonces $x$ es:

A: $2S/(a+b+c)$

B: $2S/(2c+a)$

C: $(c+a)/2$

D: $(2c+a)/3$

E: $2S/(2b+a)$

Hice un dibujo y utilicé el teorema de la bisectriz para obtener que $AX/XM=2c/a$ y del teorema de la mediana obtuve la longitud de $AX$ y $XM$. Con el teorema de Pitágoras, si encuentro $QM$ ($Q$ siendo la proyección de $X$ en $BC$) podría encontrar $x$.

Answer 1

Estás casi allí: si $H$ es la proyección perpendicular desde $A$ en $BC$ y $Q$ es la proyección perpendicular desde $X$ en $BC$ ($XQ=x$), entonces: $$ AH/XQ=AM/XM=1+AX/XM \quad\text{and}\quad AH=2S/a. $$