¿Cómo se calcula $\int{\ln(\sqrt{x}+\sqrt{x+1})dx}$?

Question

La integral que estoy tratando de averiguar es

$$\int{\ln(\sqrt{x}+\sqrt{x+1})dx}$$

Entonces, el primer paso es sustituir $u=x+1$: $$\int{\ln(\sqrt{u-1}+\sqrt{u})du}.$$

Ahora sustituir $u=\cos^2(t)$. $\int{-\ln(\sqrt{-\sin^2(t)}+\sqrt{\cos^2(t)})2\sin(t)\cos(t)dt}$. Esto se resuelve a $\int{-\ln(\cos(t)+i\sin(t))\sin(2t)dt}$. Sorprendentemente, obtenemos $\int{-\ln(e^{it})\sin(2t)dt}$ utilizando la identidad de Euler.

Ahora tenemos $\int{-it\sin(2t)dt}$ y al llenar la sustitución inversa $t=\arccos(\sqrt{x+1})$ después de realizar integración por partes eventualmente me da $0.5i\arccos(\sqrt{x+1})(2x+1)+0.5\sqrt{x^2+x}$.

Lo intenté en wolfram alpha y dio un resultado diferente con funciones hiperbólicas. Así que no fue demasiado útil para verificar esta respuesta. Siento que esta no es la respuesta correcta debido al factor imaginario del coseno inverso. ¿Dónde cometí un error?

Answer 1

Aquí hay una solución que no funciona con funciones hiperbólicas. Ahora actualizada con algunos detalles adicionales.

Integrando por partes, y usando que (por la regla de la cadena, y escribiendo la expresión dentro de corchetes en denominador común) $$ \begin{aligned} D\log(\sqrt{x}+\sqrt{x+1})&=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}D\bigl(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\bigr)\\ &= \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\Bigl[\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\Bigr]\\ &=\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}\\ &=\frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}, \end{aligned} $$ encontramos que $$ \int \log(\sqrt{x}+\sqrt{x+1})\,dx=x\log(\sqrt{x}+\sqrt{x+1})-\int \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x+1}}\,dx $$ Luego, integrando por partes nuevamente, reescribiendo, dividiendo y usando la derivada en la parte superior, $$ \begin{aligned} \int \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x+1}}\,dx&=\sqrt{x}\sqrt{x+1}-\int \frac{\sqrt{x+1}}{2\sqrt{x}}\,dx\\ &=\sqrt{x}\sqrt{x+1}-\int\frac{x+1}{2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}\,dx\\ &=\sqrt{x}\sqrt{x+1}-\int\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x+1}}\,dx-\log(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}). \end{aligned} $$ Moviendo la integral hacia el lado izquierdo, encontramos que $$ \int \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x+1}}\,dx=\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{x+1}-\frac{1}{2}\log(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}), $$ y así, finalmente, una primitiva está dada por $$ \int\log(\sqrt{x}+\sqrt{x+1})\,dx = \Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)\log(\sqrt{x}+\sqrt{x+1})-\frac{1}{2}\sqrt{x}\sqrt{x+1}. $$

Answer 2

Pista... La integral es equivalente a $$I=\int\operatorname{arsinh} \sqrt{x}dx$$ Por lo tanto, tendría sentido trabajar con funciones hiperbólicas aquí. Podrías empezar con la sustitución $$\sqrt{x}=\sinh u$$ Esto daría $$I=\int u\sinh 2udu$$ Esto se puede hacer por partes.

Answer 3

De hecho, $u \ge 1$ en tu integral (debido a la presencia de $\sqrt{u-1}$). Por lo tanto, la sustitución $u = \cos^2 t$ no es posible. Sin embargo, puedes usar la sustitución hiperbólica $u = \cosh t$ (de $x = \sinh t$ inmediatamente) para obtener el mismo resultado que Walpha.

Answer 4

Recuerda que $$\sinh t =\frac{e^t-e^{-t}}{2}\text{, y } \cosh t =\frac{e^t+e^{-t}}{2} $$ Ahora nota que \begin{align} \cosh^2 t -\sinh^2 t&=\Big(\frac{e^t+e^{-t}}{2}\Big)^2-\Big(\frac{e^t+e^{-t}}{2}\Big)^2\\ &=\frac{e^{2t}+e^{-2t}+2}{2^2}-\frac{e^{2t}+e^{-2t}-2}{2^2}\\ &=\frac{2+2}{2^2}=1 \end{align} Por lo tanto, si en tu integral eliges $x=\sinh ^2 t$ obtienes \begin{align}\sqrt x + \sqrt{x+1}&=\sinh t + \sqrt{\sinh^2t+1}\\ &=\sinh t + \sqrt{\cosh^2t}\\ &=\sinh t + \cosh t\\ &=\frac{e^t-e^{-t}}{2}+\frac{e^t+e^{-t}}{2}\\ &=e^t \end{align> .. espero que esto aclare las cosas para ti.