¿Existe una ecuación de onda que describe las ondas electromagnéticas en materiales?

Question

Las soluciones a la ecuación de onda usual para ondas electromagnéticas tienen la propiedad de que los componentes de onda de diferentes longitudes de onda viajan a la misma velocidad de fase $c$, por lo que no ocurre dispersión.

Lo que me pregunto es si existe una ecuación de onda que describa ondas electromagnéticas propagándose a través de un material. La ecuación tendría que tener en cuenta la dispersión de modo que $c = c(k)$ donde $k$ es el número de onda de la onda.

¿Existe algo similar a esto? Si no, ¿hay alguna razón por la que deberíamos esperar que no exista tal ecuación?

Answer 1

Las ecuaciones para la propagación de EM en materiales (no necesariamente ondas) siguen siendo las ecuaciones de Maxwell.

• Ley de Gauss eléctrica: $\nabla D = \rho$
• Ley de Gauss magnética: $\nabla B = 0$
• Ley de Faraday: $\nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t}$
• Ley de Ampere: $\nabla \times H = \frac{\partial E}{\partial t} + J$

Sin embargo, estas ecuaciones no son completas en el sentido de que no las podemos resolver fácilmente (dadas las condiciones de contorno apropiadas).

Lo que falta es la relación entre $E$ y $D$ y $B$ y $H$

Esto modela exactamente la dependencia del material.

Generalmente se escribe

• $D = \epsilon_0 E + P$
• $H = -\frac{1}{\mu_0} B + M$

con polarización $P = P(E, t)$ y magnetización $M = M(B,t)$. Entonces se introducen estos términos $P$ y $M$ para capturar la desviación del comportamiento del vacío.

• Para el vacío, idealmente estos son cero ($P = M = 0$).

• Para los materiales puede haber relaciones muy complejas que tal vez ni siquiera tengan una solución en forma cerrada.

• Piensa por ejemplo en la histéresis de un imán permanente. Ahí tenemos una dependencia de $M$ en el tiempo absoluto.

• O considera un material no lineal (que por ejemplo realiza doblaje de frecuencia óptica). Es común emplear simulaciones físicas cuánticas numéricas para modelar el comportamiento del material. Allí se calcula $P(E,t)$ que luego sirve como entrada a un solucionador de ecuaciones para las ecuaciones de Maxwell.

• En el caso más simple, se tiene un material lineal lo que significa que hay una relación de convolución entre $P$ y $E$ y/o $M$ y $B$. En este caso es ventajoso transformar las ecuaciones de Maxwell al dominio de frecuencia en el cual se vuelven ecuaciones diferenciales parciales lineales acopladas que pueden resolverse fácilmente (para cada punto de frecuencia).

• Para materiales no lineales esta transformación al dominio de frecuencia ya no es posible/significativa.

• Para materiales conductivos la ley de Ohm $J = \sigma E$ por ejemplo también debe integrarse en las ecuaciones de Maxwell. Esto se hace añadiéndolo al término de corriente de la Ley de Ampere. Para un comportamiento dependiente de la frecuencia nuevamente se tiene una relación de convolución, que es mejor manejar transformando todo al dominio de frecuencia primero.

Nota: Una relación de dispersión $c = c(k)$ es resultado de todo esto. No se puede obtener (en un sentido estricto) para un material no lineal por ejemplo.

Answer 2

En el nivel microscópico, la propagación de las ondas electromagnéticas en los materiales se describe por las mismas ecuaciones de Maxwell en el vacío (de las cuales la ecuación de onda se deriva trivialmente). Sin embargo, la electrodinámica macroscópica trata el caso en el que estamos interesados en escalas de longitud mucho mayores que las distancias interatómicas: en este caso se debe tener en cuenta la polarización y la magnetización, que son campos eléctricos y magnéticos inducidos en el material promediados sobre un volumen físicamente pequeño - es decir, un volumen que es mucho más grande que el espacio interatómico, pero que sigue siendo muy pequeño en la escala de nuestro problema. Esto no es muy distinto de describir líquidos o gases en términos de presión y densidad, por lo que a veces se llama a la electrodinámica macroscópica electrodinámica de medios continuos.

Luego se reformulan las ecuaciones de Maxwell en términos de campos auxiliares: $$ \mathbf{D}=\varepsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P},\\ \mathbf{H}=\frac{\mathbf{B}}{\mu_0}-\mathbf{M}, $$ donde $\mathbf{P}$ y $\mathbf{M}$ son la polarización y la magnetización inducidas en los medios. Las ecuaciones de Maxwell son entonces incompletas, se necesitan complementar con las relaciones materiales/constitutivas que relacionan los campos auxiliares (o la polarización y magnetización) con los campos verdaderos.
En el caso más simple de un medio isotrópico y homogéneo, estas relaciones suelen ser $$ \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}, \mathbf{H}=\frac{\mathbf{B}}{\mu}. $$ Sin embargo, se pueden considerar casos más complicados, como un medio lineal isótropo arbitrario, donde tomamos $$ \mathbf{P}(\mathbf{r},t)=\varepsilon_0\int d^"\mathbf{r}'dt'\chi_e(\mathbf{r},t;\mathbf{r}',t')\mathbf{E}(\mathbf{r}',t'),\\ \mathbf{M}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{\mu_0}\int d^"\mathbf{r}'dt'\chi_m(\mathbf{r},t;\mathbf{r}',t')\mathbf{B}(\mathbf{r}',t'). $$ Aquí $\chi_e,\chi_m$ se denominan susceptibilidades eléctrica y magnética. Esta formulación ya permite incluir la dispersión como se pide en el OP. (En un medio homogéneo $\chi_j(\mathbf{r},t;\mathbf{r}',t')=\chi_j(\mathbf{r}-\mathbf{r}',t-t')$ y las ecuaciones de Maxwell se simplifican considerablemente después de la transformada de Fourier.)

Niveles adicionales de complejidad pueden incluir la anisotropía (haciendo que las susceptibilidades sean matrices), así como la no linealidad (haciendo que las susceptibilidades mismas dependan de los campos o introduciendo susceptibilidades no lineales de orden superior).