¿Cómo surgió la regla de la adición y por qué da la respuesta correcta cuando se compara empíricamente?

Question

Todavía soy un estudiante de secundaria y estoy muy interesado en las matemáticas, pero ninguno de mis libros escolares describe este tipo de cosas, y solo dicen cómo hacerlo, no por qué. Mi pregunta es muy simple, por ejemplo:

        19
       +25
      = 44

porque el uno de sumar 9 y 5 continúa sumando con 1 y dos. ¿Cómo se llegó a esta regla de adición?

Aquí hay una breve explicación que puede ser útil (disculpa si resulta frustrante): Supongamos que somos un niño de 3 años y nadie nos enseña cómo sumar y reconocemos que 1 es nuestro dedo índice y 5 son todos los dedos de la mano levantados. Alguien nos da el problema de sumar: 1+5 entonces los levantamos, ¿verdad? y de nuevo alguien nos da sumar 8564+2345 entonces no podemos levantarlos. Así que intentamos crear una regla pero no reconocemos que 6+4= 10 donde 0 queda y uno salta, ni podemos decir que solo se deben sumar los dígitos de las posiciones más a la derecha. Eso es lo que quise decir.

Answer 1

La razón por la que surgió esta regla de adición es que las personas cuentan hasta 10 con sus dedos. Otros sistemas numéricos se han desarrollado en otras culturas, como contar de 5 en 5 en una mano, o contar hasta 60 en grupos de 5 subdígitos en la otra mano. Las computadoras solo usan '0' y '1' para voltaje positivo y negativo. Algunas personas también están tratando de que la gente comience a usar la base 12 ya que tiene muchos factores para ser un número tan pequeño. La base 10 es simplemente un estándar.

Los números estándar se representan en la forma:

número = valor_del_lugar_base^valor_del_1er_dígito + valor_del_lugar_base^valor_del_2do_dígito + valor_del_lugar*base^valor_del_3er_dígito+...

Donde:

0 <= valor_del_lugar < base

Y "valor_del_lugar", "base" y los "valor_del_ésimo_dígito" son valores enteros. Estas dos últimas declaraciones son importantes ya que significa que para cualquier espacio de dígitos hay un símbolo que representa el valor entero máximo de ese espacio de dígitos, y hay un mínimo de 0 (o cualquier otro símbolo adecuado) para ese espacio de dígitos.

Necesitamos un sistema que exprese números mayores que 9 y menores que 0 en el sistema de números, así como valores decimales. El problema es que si simplemente cambiamos la base, necesitaríamos un símbolo para cada número organizado de tal manera que cada número pudiera ser identificado a simple vista sin haberlo visto antes.

Eso no funcionará. Por eso tenemos espacios de dígitos.

Cada espacio de dígitos es una mejora con respecto a cada espacio de dígitos anterior para que pueda continuar donde el último espacio de dígitos se detuvo, entonces 9+1=10 en base 10, al igual que 1+1=10 en base 2, F+1=10 en base 16, etc. El sistema de dígitos permite que el siguiente dígito represente números que no están en el mismo conjunto que el primer dígito para que no desperdiciemos símbolos representando múltiples números más de una vez.

Excepto los ceros a la izquierda, por eso existen sistemas de números como este: https://en.wikipedia.org/wiki/Gray_code. Gray todavía tiene números superpuestos con diferentes cantidades de dígitos, pero este es un ejemplo para mostrar que se pueden escribir números de muchas maneras.

Hablando de eso...

A pesar de que el estándar para las matemáticas decimales es usar la notación big-endian (donde el dígito que representa el valor más grande va primero), puede ser útil escribir los números en notación little-endian (donde el dígito que representa el valor más pequeño va primero). Ejemplo:

Notación big-endian:

 52
+29
=81

Notación little-endian:

 25
+92
=18

La notación little-endian puede ser especialmente útil para transmisiones serie entre computadoras ya que la adición de la primera parte del número puede causar que se transporte y la suma se pueda calcular progresivamente mientras se recibe el mensaje, en lugar de todo de una vez si se recibe el mensaje en notación big-endian.

También existen notaciones matemáticas como la notación postfix, de la cual soy fan ya que elimina el contraintuitivo y completamente inútil orden de operaciones y libera los paréntesis para otros usos.

O simplemente puedes comenzar a escribir los números verticalmente y ver cómo va eso ;)

En cuanto a POR QUÉ es necesaria la adición: no lo es. El sistema binario y las computadoras en realidad no realizan adición; es simplemente una serie de operaciones lógicas en los valores de entrada, las cuales podrían también ser mapeadas al sistema decimal con un esfuerzo adicional. La adición es solo una función que resulta en un valor.

Considera la igualdad:

a+b=c+d

No hay tal cosa como equivalencia natural; ha sido definida por los humanos como una forma de reconocer cuando dos salidas funcionales dan el mismo resultado. Esto es solo una forma de decir 'mapear la adición de a y b a la adición de c y d, y viceversa', alias

+(a,b)<->+(c,d)

Creo que ya terminé después de haber destrozado la notación matemática y la idea de la equivalencia en su totalidad. Si tienes alguna pregunta restante o sientes que esta explicación está incompleta, no dudes en notificármelo :)

Answer 2

No es que llevar sea una regla, sino más bien que es un resultado natural de la adición dentro de un sistema numérico.

Añadir dos números es un proceso natural. Si tengo un grupo grande de cosas y añado otro grupo grande de cosas, entonces he sumado los dos grupos juntos. Cuando se trata de cosas (en lugar de llevar el número de ellas en tu cabeza), no hay necesidad de llevar a cabo ninguna transferencia porque las cosas están simplemente ahí. Si quiero saber cuántas son, las puedo contar.

Sin embargo, representamos números dentro de una base (asumamos que estamos usando la base 10 por el momento). Un número decimal de un solo dígito solo puede representar del 0 al 9, por lo que incluso cuando estamos contando (sumando 1 a la vez) tenemos que llevar para contar hasta 10. Es decir, cuando un dígito está en el valor máximo dentro de la base pero aún tienes más por sumar, necesitas usar el siguiente dígito más alto. En base 10, para sumar 1 a 9 llego a 10, efectivamente habiendo llevado el 1.

La necesidad de llevar es ligeramente más evidente con bases más bajas. Por ejemplo, en binario (base 2), cada dígito puede ser 0 o 1. En lugar de decimal donde tienes un dígito para unos, decenas, centenas, etc., en binario tienes un dígito para unos, dos, cuatros, ochos, etc.

El número decimal 7 se representa en binario como

111

(eso es 1*1+1*2+1*4)

Si queremos sumar 1 (binario 1) a 7 (binario 111), obtenemos 8 (binario 1000). Se ve así:

   111
+  001
= 1000

Verás que, porque estamos sumando a un dígito que ya está en su valor máximo, se lleva al siguiente dígito más alto. En este caso, porque cada dígito más alto también está al máximo, continúa llevando hasta que llega a un dígito vacío.

---

La razón por la que llevar es tan explícita en la adición es porque, con la técnica que mostraste, es fácil sumar cualquier cantidad. Al escribir los números de esta manera, sumar números arbitrariamente grandes se vuelve tan fácil como sumar dos números de 1 dígito varias veces. 88010343 + 69139740 se convierte en:

  8|8|0|1|0|3|4|3
+ 6|9|1|3|9|7|4|0

Solo es un poco más complicado porque estas no son operaciones independientes; llevamos al siguiente dígito a medida que avanzamos porque es fácil de hacer en el lugar, en lugar de tener que tomar nota y hacerlo más tarde (por ejemplo, el dígito de millones tuvo un resultado de 17, así que una vez que termine agregaré 10 millones).

Answer 3

Suponga que no tienes dinero en el bolsillo, pero recuerdas que la semana pasada prestaste $19$ libras a Alice y prestaste $25$ libras a Bob. Entonces buscas a Alice y a Bob y recoges el dinero que te deben.

Pero Alice y Bob solo tienen algunos billetes de diez libras y monedas de una libra en sus bolsillos, así que te pagan de la siguiente manera:

• Alice: $1$ billete de diez libras, $9$ monedas de una libra.
• Bob: $2$ billetes de diez libras, $5$ monedas de una libra.

Ahora tienes $3$ billetes de diez libras y $14$ monedas de una libra. ¿Cuánto dinero tienes?

No te gusta llevar tantas monedas (son pesadas), así que vas a tu banco, entregas al cajero $10$ de tus monedas de una libra, y recibes a cambio un billete de diez libras. ¿Es un intercambio justo, no? No perdiste ni ganaste dinero con este intercambio.

Ahora tienes $4$ billetes de diez libras. También te quedan $4$ monedas de una libra después de entregar $10$ de las $14$ originales al banco.

¿Está claro que tienes $44$ libras después de sumar las $25$ libras de Bob a las $19$ libras de Alice?

Cuando estás sumando números en la notación habitual (números de valor posicional en base diez), la operación de "acarreo" es como ir al banco para intercambiar un número de monedas de una libra por un número menor de billetes de diez libras. La principal diferencia es que, al hacer aritmética con números de valor posicional en base diez, tienes que hacer esto, porque tu "bolsillo" solo tiene suficiente "espacio" para como máximo nueve monedas o billetes de una denominación particular; es decir, la única forma en que puedes escribir un número en el formato estándar es escribiendo la cantidad de "unos", luego la cantidad de "dieces" a la izquierda de eso, luego la cantidad de "cienes" a la izquierda de eso, etc., y solo tienes los dígitos del $0$ al $9$ para indicar cuántos unos, cuántos dieces, y así sucesivamente.

Answer 4

¿Cómo surgió esta regla de adición?

De ábaco.

Answer 5

Es simple.

Digamos que estás trabajando en una columna en particular.

(No importa en qué columna ... la primera, la cuarta columna ... lo que sea).

Supongamos que llegas a "diez" en esa columna. Bueno, ¡eso es lo mismo que un "1" en la próxima columna!

Así de simple es: cada "diez" en "esa" columna es como un "1" en la "siguiente" columna.

De hecho, ¡podrías simplemente escribir un "diez" en esa columna si quisieras!

Así que, ocho mil ... 8-0-0-0 ... podrías escribirlo como 7-diez-0-0 si quisieras ... ¿ves?!!

7-diez-0-0 significaría "siete miles", "diez cientos" (que por supuesto es solo mil) y cero decenas y unidades.

Por supuesto, el diez en esa columna simplemente vale un 1 en la próxima columna. 7 más 1 son 8, así que simplemente escribimos 7-0-0-0.

Disfruta.