Aquí hay un bosquejo de la teoría general.
Teorema: Sea $b$ un entero mayor que $1$. Para cada entero positivo $N$, existen
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Un entero no negativo $n$,
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Enteros $a_{n}$, $a_{n-1}$, ..., $a_{2}$, $a_{1}$, $a_{0}$ que satisfacen $0 \leq a_{k} < b$, y $0 < a_{n}$,
tal que $$ N = a_{n} b^{n} + a_{n-1} b^{n-1} + \dots + a_{1} b + a_{0} = \sum_{k=0}^{n} a_{k} b^{k}. \tag{1} $$ Además, la representación (1) es única (se puede hacer de manera precisa en una sola forma).
Definición: Los enteros $(a_{k})_{k=0}^{n}$ se llaman los dígitos (base $b$) de $N$. La cadena de símbolos $$ a_{n}\, a_{n-1} \cdots a_{2}\, a_{1}\, a_{0} $$ se llama la representación en base-$b$ de $N$.
El proceso de acarreo surge naturalmente cuando te preguntas cómo encontrar la representación en base-$b$ de una suma $N + N'$ a partir de las representaciones en base-$b$ de los sumandos $N$ y $N'$. Si \begin{alignat*}{5} N &= a_{n} b^{n} &&+ a_{n-1} b^{n-1} &&+ \dots &&+ a_{1} b &&+ a_{0} &&= \sum_{k=0}^{n} a_{k} b^{k}, \\ N' &= a_{n}' b^{n} &&+ a_{n-1}' b^{n-1} &&+ \dots &&+ a_{1}' b &&+ a_{0}' &&= \sum_{k=0}^{n} a_{k}' b^{k}, \end{alignat*} entonces $$ N + N' = (a_{n} + a_{n}') b^{n} + (a_{n-1} + a_{n-1}') b^{n-1} + \dots + (a_{1} + a_{1}') b + (a_{0} + a_{0}') = \sum_{k=0}^{n} (a_{k} + a_{k}') b^{k}. \tag{2} $$ Si cada "coeficiente" $a_{k} + a_{k}'$ es menor que $b$, entonces (2) da inmediatamente la representación en base-$b$ de $N + N'$ colocando los coeficientes uno al lado del otro. El problema es que uno o más coeficientes $a_{k} + a_{k}'$ podrían ser mayores o iguales a $b$. En la suma $19 + 25$, por ejemplo, la "posición de los unos" $9 + 5$ no se puede representar con un solo dígito. En su lugar, escribimos $9 + 5 = 14 = 10 + 4$; el $4$ se queda en la posición de los unos, pero el extra $10$ hace un acarreo a la posición de las decenas. Dado que $10$ unidades de uno es una sola unidad de diez, sumamos uno a la posición de las decenas para acomodar el acarreo. (La ecuación $9 + 5 = 14$ en sí misma es un caso especial.)
En general, si $b \leq a_{k} + a_{k}'$, escribe $$ (a_{k} + a_{k}') b^{k} = \bigl[b + (a_{k} + a_{k}' - b)\bigr] b^{k} = b^{k+1} + (a_{k} + a_{k}' - b) b^{k}. \tag{3} $$ Cada uno de $a_{k}$ y $a_{k}'$ es menor que $b$, entonces $0 \leq a_{k} + a_{k}' - b < b$. En otras palabras, $a_{k} + a_{k}' - b$ es un dígito base-$b$. La ecuación (3) determina la regla de acarreo: Suma los coeficientes de $b^{k}$, $a_{k} + a_{k}'. Si la suma de los coeficientes es mayor o igual a $b$, resta $b$ de su suma (obteniendo un dígito base-$b$ adecuado) y suma $1$ (es decir, $b$ unidades de $b^{k}$) al coeficiente de $b^{k+1}$, la siguiente columna a la izquierda.
Para obtener un algoritmo limpio para la suma, comienza en el dígito más a la derecha y trabaja hacia la izquierda, haciendo acarreos según sea necesario. (Los acarreos solo afectan a los dígitos más a la izquierda. Por ejemplo, un acarreo en la posición de las centenas no tiene efecto en las decenas y las unidades).
