Cada uno de los 300 trabajadores de una fábrica almuerza en uno de los tres restaurantes competidores (con la misma probabilidad, es decir, con una probabilidad de $1/3$). ¿Cuántos asientos debería tener cada restaurante para que, en promedio, a lo sumo uno de cada 20 clientes quede sin asiento?
¿Cómo puedo abordar esto?
No me queda claro por qué se plantea como ejercicio en el capítulo de teoremas de límite.
Pista: Etiquetemos a los clientes como $1$ a $300$. Suponemos que cada trabajador elige a qué restaurante ir lanzando una moneda justa de $3$ lados.
Sea $X_i=1$ si el cliente $i$ es atendido, y $0$ si no lo es. Sea $Y=\sum X_i$. Interpretamos la pregunta como solicitar la capacidad $c$ que asegurará que $E(Y)\le \frac{300}{20}$.
La esperanza de una suma es la suma de las esperanzas, por lo que queremos $300E(X_1)\le \frac{300}{20}$, y por lo tanto $\Pr(X\gt c)\le 0.05$.
El número $W$ de clientes distintos a $1$ que van al restaurante elegido por el Cliente $1$ tiene una media de $\frac{299}{3}$. (Probablemente se espera usar $100$). La variable aleatoria $W$ tiene una varianza de $(299)(1/3)(2/3)$, y una distribución aproximadamente normal. Queremos elegir $c$ para que $c$ sea al menos $1.96$ unidades de desviación estándar por encima de $\frac{299}{3}$.
Observación: Probablemente se espera que se use una media de $100$, una varianza de $300(1/3)(2/3)$ y encontrar $c$ de modo que con una probabilidad $\le 0.05$, una normal con media $100$ y varianza $300(1/3)(2/3)$ sea $\ge c+1$. Eso no hará mucha diferencia.
Que esto es un ejercicio en el capítulo de los teoremas del límite es en realidad una pista. Sea $n=300$ el número de trabajadores, $s$ el número de asientos en cada restaurante y $X$ el número de trabajadores tratando de conseguir un asiento en el restaurante 1. Entonces $X-s$ clientes permanecen sin sentar en el restaurante 1 si $X\gt s$, y ninguno si $X\leqslant s$, por lo tanto, el número medio de clientes que permanecen sin sentar en el restaurante 1 es $E[X-s;X\gt s]$. Por simetría, el número medio de clientes que permanecen sin sentar en cualquiera de los tres restaurantes es $m=3\cdot E[X-s;X\gt s]$ y se pregunta por $s$ tal que $m\leqslant20$.
La distribución de $X$ es binomial $(n,\frac13)$ por lo tanto su media es $\frac13n$ y su varianza es $\frac29n$. Si $n$ es lo suficientemente grande para aplicar el teorema del límite central, entonces $$ X=\tfrac13n+\tfrac13\sqrt{2n}\cdot Y, $$ donde $Y$ es aproximadamente normal estándar. Definiendo $$ s=\tfrac13n+\tfrac13\sqrt{2n}\cdot r, $$ se obtiene $m=\sqrt{2n}\cdot E[Y-r;Y\gt r]$. Dado que $Y$ es aproximadamente normal estándar, para cada $r$, $$ E[Y-r;Y\gt r]\approx\varphi(r)-r(1-\Phi(r)), $$ por lo tanto se resuelve numéricamente $\varphi(r)-r(1-\Phi(r))=\frac{20}{\sqrt{2n}}=\frac13\sqrt6$. La raíz es $r^*\approx-0.665$, lo que da $s^*=\frac13n+\frac13\sqrt{2n}\cdot r^*\approx100-\frac{20}9\sqrt6\approx94.56$.
Finalmente, si la aproximación gaussiana aplica, cada restaurante debería tener al menos $95$ asientos.
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