¿Cómo puedo demostrar que $x^TAy = y^TAx$ si A es simétrica?

Question

Ok esto es para una tarea pero no estoy buscando una ayuda gratuita ... solo una pista para que me pongan en el camino correcto.

No tengo idea de por donde empezar a probar esto:

Mostrar que si A es una matriz simétrica, entonces

$$x^TAy = y^TAx$$

Answer 1

$x^tAy$ es un escalar. Entonces $x^tAy=(x^tAy)^t$. ¿Puedes continuar desde aquí?

Answer 2

Si $A$ es simétrica, entonces sabemos que $A_{ij} = A_{ji}$. Si comprendes que $x^T A y = \sum_i\sum_j x_iA_{ij}y_j$, entonces intercambiar los índices de $A$ debería llevarte directamente a la respuesta.

Answer 3

Esta condición en realidad se puede usar como una definición equivalente de $A$ siendo simétrica. El punto clave es que ambos lados son bilineales en $x$ e $y$, por lo que basta con demostrar el resultado cuando $x$ e $y$ son vectores base, digamos $e_i$ y $e_j$. ¿Qué dice entonces la condición?

Answer 4

Demuestra que siempre que $A$ y $B$ sean matrices para las cuales puedes calcular el producto $AB$, entonces $$(AB)^t=B^tA^t$$.

Luego aplica $(\mathord-)^t$ al lado izquierdo de tu ecuación, y compara el resultado con el lado derecho, teniendo en cuenta que ambos lados son en realidad números (bueno, matrices de $1$-por-$1$)

Answer 5

Calcular $[x_1, x_2]A[y_1 y_2]^T$ para una matriz simétrica de 2 x 2 $A = [[a, b], [b, c]]$. Obtenemos $ax_1y_1 + b(x_1y_2 + x_2y_1) + cx_2y_2$. Esta expresión es claramente simétrica en $x$ y $y$, es decir, no cambia cuando se intercambian $x$ y $y.

para una matriz de n x n es posible que desee utilizar la notación sigma.