Ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma polar.

Question

Demuestra que en coordenadas polares, las ecuaciones de Cauchy-Riemann toman la forma $\dfrac{\partial u}{\partial r} = \dfrac{1}r \dfrac{\partial v}{\partial \theta}$ y $\dfrac{1}r \dfrac{\partial u}{\partial \theta} = \dfrac{\partial v}{\partial r}$.

Usa estas ecuaciones para demostrar que la función logaritmo definida por $\log z = \log r + i\theta$ donde $z=re^{i\theta}$ con $-\pi<\theta<\pi$ es holomorfa en la región $r > 0$ y $-\pi<\theta<\pi$.

Lo que tengo hasta ahora:

Ecuaiones de Cauchy-Riemann: Sea $f(z)$ = $u(x, y)$ +$iv(x, y)$ una función en un dominio abierto con derivadas parciales continuas en las variables reales subyacentes. Entonces f es diferenciable en $z = x+iy$ si y solo si $\frac{u}{ x}(x, y)$ = $\frac{ v}{ y}(x, y)$ y $\frac{u}{ y}(x, y)$ = $\frac{ v}{ x}(x, y)$. Por lo tanto, tenemos $f'(z)= \frac{u}{ x}(z) +i \frac{ v}{ x}(z)$. Sea $f(z)$ = $f(re^{i})$= $u(r,)$ +$iv(r,)$ una función en un dominio abierto que no contiene el cero y con derivadas parciales continuas en las variables reales subyacentes. Entonces f es diferenciable en $z$ = $re^{i}$ si y solo si $r \frac{u}{r}=\frac{ v}{}$ y $\frac{u}{}$ = $r \frac{v}{ r}$.

Lo siento si no es muy claro. ¡Acabo de empezar a aprender análisis complejo hoy!

Answer 1

Prueba de C.R. Polar Sea $f=u+iv$ analítica, entonces las ecuaciones de Cauchy-Riemann usuales se cumplen \begin{equation} \frac{\partial u}{\partial x} =\frac{\partial v}{\partial y} \ \ \ \ \ \text{y} \ \ \ \ \frac{\partial u}{\partial y} =-\frac{\partial v}{\partial x} \ \ \ \ \ \ \ (C.R.E) \end{equation> Dado que $z=x+iy=r(\cos\theta + i \sin\theta)$, entonces $x(r, \theta)=r\cos\theta$ y $y(r, \theta)=r\sin\theta$. Por la regla de la cadena: \begin{align*> \frac{\partial u}{\partial r} & = \frac{\partial u}{\partial x} \cos\theta+ \frac{\partial u}{\partial y} \sin\theta \\ & \overset{(C.R.E)}{=} \frac{1}{r} \left( \frac{\partial v}{\partial y} r\cos\theta - \frac{\partial v}{\partial x} r\sin\theta\right) =\frac{1}{r} \left( \frac{\partial v}{\partial \theta}\right) \end{align*> y nuevamente, por la regla de la cadena: \begin{align*> \frac{\partial v}{\partial r} & = \frac{\partial v}{\partial x} \cos\theta+ \frac{\partial v}{\partial y} \sin\theta \\ & \overset{(C.R.E)}{=} \frac{-1}{r} \left( \frac{\partial u}{\partial y} r\cos\theta - \frac{\partial u}{\partial x} r\sin\theta\right) =\frac{-1}{r} \left( \frac{\partial u}{\partial \theta}\right) \end{align*> Así que de hecho $$ \left( \frac{\partial u}{\partial r}\right) = \frac{1}{r} \left( \frac{\partial v}{\partial \theta}\right) \ \ \ \ \ \text{y} \ \ \ \ \left(\frac{\partial v}{\partial r} \right) = \frac{-1}{r} \left( \frac{\partial u}{\partial \theta}\right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \blacksquare $$

Ejemplo de Logaritmo $log(z)=\ln(r)+i \theta$ con $z=re^{i\theta}$, $r>0$ y $-\pi<\theta<\pi$. Entonces $$ u(r, \theta)=\ln(r) \ \ \ \text{ y } \ \ \ v(r, \theta) =\theta $$ y $$ \left( \frac{\partial u}{\partial r}\right) =\frac{1}{r}= \frac{1}{r} \cdot 1 = \frac{1}{r} \cdot \left( \frac{\partial v}{\partial \theta}\right) \ \ \ \ \ \text{y} \ \ \ \ \left(\frac{\partial v}{\partial r} \right) = 0 = \frac{-1}{r}\cdot 0 = \frac{-1}{r} \left( \frac{\partial u}{\partial \theta}\right) $$ Entonces en efecto, $log(z)$ es analítico.

Answer 2

Una forma de derivar las ecuaciones de CR en forma polar es encontrar $u_r$, $u_{\theta}$, $v_r$, $v_{\theta}$ en términos de $u_x$, $u_y$, $v_x$, $v_y$ y $\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $r$. Luego, introducir esta información en las ecuaciones en forma polar y verificar que $LHS = RHS$ (usando la forma cartesiana de las ecuaciones).

Otra forma es encontrar $u_x$, $u_y$, $v_x$, $v_y$ en términos de $u_r$, $u_{\theta}$, $v_r$, $v_{\theta}$ y $\sin{\theta}$, $\cos{\theta}$, $r$. Luego introducir esta información en la forma cartesiana de las ecuaciones y derivar la forma polar a través de manipulaciones algebraicas. Esto se hace de la siguiente manera:

Sea $f(z) = U(x,y) + iV(x,y) = u(r,\theta) + iv(r,\theta)$. (Igualando la parte real e imaginaria, tenemos $U(x,y) = u(r,\theta)$ y $V(x,y) = v(r,\theta)$. Además, $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ y $\theta = \arctan{\frac{y}{x}}$).

$f$ es analítica en $z$ si $U_x = V_y$ y $U_y = -V_x$.

Usando la regla de la cadena,

\begin{eqnarray} U_x &=& u_r \cdot r_x + u_{\theta} \cdot \theta_x % &=& u_r \cos{\theta} - u_{\theta} \frac{\sin{\theta}}{r} \tag{1} \\ U_y &=& u_r \cdot r_y + u_{\theta} \cdot \theta_y % &=& u_r \sin{\theta} + u_{\theta} \frac{\cos{\theta}}{r} \tag{2} \\ V_x &=& v_r \cdot r_x + v_{\theta} \cdot \theta_x % &=& v_r \cos{\theta} - v_{\theta} \frac{\sin{\theta}}{r} \tag{3} \\ V_y &=& v_r \cdot r_y + v_{\theta} \cdot \theta_y % &=& v_r \sin{\theta} + v_{\theta} \frac{\cos{\theta}}{r} \tag{4} \end{eqnarray}

Ahora, $U_x = V_y$ da

\begin{eqnarray} u_r \cos{\theta} - u_{\theta} \frac{\sin{\theta}}{r} &=& % v_r \sin{\theta} + v_{\theta} \frac{\cos{\theta}}{r} \label{a} \tag{5} \end{eqnarray}

Y $U_y = -V_x$ da

\begin{eqnarray} u_r \sin{\theta} + u_{\theta} \frac{\cos{\theta}}{r} &=& % - v_r \cos{\theta} + v_{\theta} \frac{\sin{\theta}}{r} \label{b} \tag{6} \end{eqnarray}

Así, $\cos{\theta} \cdot (\ref{a}) + \sin{\theta} \cdot (\ref{b})$ da $u_r = \frac{1}{r} v_{\theta}$, y $\sin{\theta} \cdot (\ref{a}) - \cos{\theta} \cdot (\ref{b})$ da $- \frac{1}{r} u_{\theta} = v_r$.