$\binom{54}{5}+\binom{49}{5}+\binom{44}{5}+\cdots+\binom{9}{5}$ Se mantiene igual en español.

Question

Cómo calcular la suma $$\binom{54}{5}+\binom{49}{5}+\binom{44}{5}+\cdots+\binom{9}{5}$$

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Lo escribí como $$\sum_{r=2}^{11}\binom {5r-1}{5}$$ $$=\frac{1}{120}\sum_{r=2}^{11}(5r-1)(5r-2)(5r-3)(5r-4)(5r-5)$$ Me quedé atascado después de esto. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Para una interpretación combinatoria de la suma, considera $6$-subconjuntos de $\{1,\dots,55\}$ tal que el elemento más grande es un múltiplo de $5$. La suma condiciona en el elemento más grande $5r$; los $5$ elementos restantes son elegidos de entre $\{1,\dots,5r-1\}$.

Sin la restricción de "múltiplo de $5$", este enfoque proporciona una prueba combinatoria de que $$\sum_{k=6}^{55} \binom{k-1}{5} = \binom{55}{6}.$$

Answer 2

$$f:\mathbb Z \rightarrow \text{cualquier anillo conmutativo}$$$$\text {notación de diferencia hacia adelante }\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$$ $$\sum_{x=a}^b \Delta f(x)=f(b+1)-f(a)$$ $$\text {notación de potencia decreciente } x^{(k)}=x(x-1)…(x-k+1)$$ $$\text {hecho: } x^{(k)}=(\Delta x^{(k+1)})/(k+1)$$ Tu suma es $(1/5!)\sum_{x=9}^{54}x^{(5)}=(1/(5! \times 6))\sum_{x=9}^{54}\Delta x^{(6)}$ $$=(1/6!)(55^{(6)}-9^{(6)})$$ $$={55 \choose 6}-{9 \choose 6}$$