Suma, mínimo y máximo de tiempos de detención

Question

Se me pide que demuestre que el mínimo y la suma de dos tiempos de parada son ellos mismos tiempos de parada. Antes de embarcarme en las pruebas, me intriga por qué se me pide que demuestre estas cosas. En el caso del mínimo, parece natural que la gente esté interesada en $n\wedge\tau$, donde $\tau$ es algún tiempo de parada. Por ejemplo, ¿cuál es el tiempo de espera esperado del evento de que la acción X alcance un valor nominal de $Y antes de 2050? El significado de la suma de los tiempos de parada, sin embargo, no es obvio para mí. Miré https://math.stackexchange.com/questions/232774/sum-of-two-stopping-times-is-a-stopping-time y https://math.stackexchange.com/questions/219366/minimum-of-two-stopping-times-is-a-stopping-time, pero no encontré una explicación deseable. Mis preguntas son entonces

1. ¿Es correcta mi interpretación del mínimo de tiempos de parada?
2. ¿Qué significa sumar dos tiempos de parada? ¿Hay un ejemplo concreto?
3. Me parece que muchas cosas que se pueden crear usando dos tiempos de parada $\nu$ y $\tau$ también son tiempos de parada (a pesar de que no sé qué significan). Por ejemplo, $|\nu-\tau|_+$, $\max\{\nu,\tau\}$, etc. De nuevo, no creo que tenga sentido extender este ejercicio. ¿Estoy en lo correcto?

Answer 1

1) Tu interpretación es correcta.

2) Para sumar tiempos de parada, imagina que tienes algún proceso aleatorio multidimensional donde tus tiempos de parada están en la primera y segunda coordenada respectivamente, pasando algún valor. Luego su suma podría interpretarse como los recursos gastados en ambas coordenadas. Por ejemplo, estás esperando a que dos computadoras terminen una computación en paralelo, y pagas un costo fijo por cada segundo que una computadora dada opera. Entonces, el costo total de operación es proporcional a $\tau_1+\tau_2$, los tiempos de parada de la primera y segunda máquina respectivamente.

3) La respuesta de Mark es completa en esto. Para todos los propósitos, la mayoría de las cosas que haces para transformar tiempos de parada también resultarán en un tiempo de parada. Las excepciones comienzan a surgir cuando haces un número infinito de tales cosas, especialmente para un proceso cuya filtración no es de continuidad derecha.

Aquí tienes un ejemplo aparentemente extraño. Sea $X_t=tB$, donde $B=\pm 1$ con probabilidad de $1/2$ cada uno. En otras palabras, lanzas una moneda y luego comienzas a moverte en la dirección en la que cae. Ten en cuenta que $X_t=0$. Ahora, deja que $\tau_n$ esté definido como el tiempo de llegada del conjunto $[1/n,\infty)$ para cada $n>0$. ¡Convence (¡demuéstralo!) de que este es un tiempo de parada válido.

Desafortunadamente, $\tau:=\min_n \tau_n=\inf\{t: X_t\in (0,\infty)\}$ NO es un tiempo de parada válido. Para ver esto, nota primero que la filtración para $X_t$ es como de costumbre: $F_t=\sigma(X_s: s\leq t)$. Asimismo, $F_0=\sigma(X_0)$ es trivial ya que $X$ es constante.

Observa que $\{\tau\leq 0\}=\cap_n \{\tau\leq 1/n\}$ es equivalente a $\{B=1\}$. Por otro lado, la filtración de $X_t$ en $t=0$ es trivial, lo que significa que $\tau$ no es un tiempo de parada. El problema clave aquí es la falta de filtraciones de continuidad derecha junto con el hecho de que $\tau$ es el tiempo de llegada de $(0,\infty)$ que es un conjunto abierto. Contrasta esto con $[0,\infty)$, para el cual $\tau=0$ trivialmente.