Distancia euclidiana y producto punto

Question

He estado leyendo que la distancia euclidiana entre dos puntos y el producto punto de los dos puntos están relacionados. Específicamente, la distancia euclidiana es igual a la raíz cuadrada del producto punto. Pero esto no funciona para mí en la práctica.

Por ejemplo, digamos que los puntos son $(3, 5)$ y $(6, 9)$. La distancia euclidiana es $\sqrt{(3 - 6)^2 + (5 - 9)^2}$, que es igual a $\sqrt{9 + 16}$, o $5$. Sin embargo, el producto punto es $(3 * 6 + 5 * 9)$, que es $63$, y la raíz cuadrada de esto no es $5$.

¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Además de las otras respuestas, hay de hecho una relación entre la distancia euclidiana $d(X,Y)$ y el producto interno $\langle X, Y \rangle$ si los vectores $X, Y \in \mathbb{R}^N$ están normalizados, es decir $\langle X, X \rangle=\langle Y, Y \rangle = 1$, en particular $$\frac{d(X,Y)^2}{2} = 1 - \langle X, Y \rangle.$$ Esto se puede demostrar como $$d(X,Y)^2 = \langle X - Y, X - Y \rangle = \langle X, X \rangle + \langle Y, Y \rangle - 2 \langle X, Y \rangle = 2 (1 - \langle X, Y \rangle)$$

Answer 2

En $\mathbb{R}^{2}$, la distancia entre $\displaystyle X = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}$ y $\displaystyle Y = \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \end{pmatrix}$ se define como :

$$ d(X,Y) = \Vert Y - X \Vert = \sqrt{\left\langle Y-X,Y-X \right\rangle}. $$

con $\left\langle Y-X,Y-X \right\rangle = (y_{1}-x_{1})^{2} + (y_{2}-x_{2})^{2}.$

Entonces, si $\displaystyle X=\begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$ y $\displaystyle Y = \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}$,

$$\begin{align*} d(X,Y) &= {} \sqrt{\left\langle \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\right\rangle} \\[2mm] &= \sqrt{9 + 16} \\[2mm] &= \sqrt{25} \\[2mm] &= 5. \end{align*} $$

Answer 3

La fórmula de producto punto para la raíz cuadrada es para la distancia a $(0,0).$ Entonces primero se tiene que obtener la diferencia de los dos vectores, y luego aplicar.

Answer 4

Distancia=$D=\sqrt{((|A|^2-(A\cdot B)^2)+(|B|-(A\cdot B))^2)}$

Encontré esto geométricamente de esta manera:

Disculpen el formato desastroso, esta es la primera vez que publico aquí. Necesitaba encontrar D en términos de normas y productos punto para mi tarea de álgebra lineal, como supongo que la mayoría de las personas que hacen esta pregunta, y las otras respuestas no fueron útiles para mí. No sé de dónde sacó el que pregunta original que $D=\sqrt{A\cdot B}$, pero espero que la ecuación que encontré para mi tarea sea útil para otros que intentan descubrir cómo D está relacionado con el producto punto.