Me gustaría saber si la siguiente comparación, de series que involucran secuencias que surgen de la teoría analítica de números y la llamada desigualdad de Carleman, es potencialmente interesante. Así que lo pregunto como una pregunta suave o para saber qué piensas al respecto, o si esta idea está en la literatura.
Uno tiene el artículo de Wikipedia dedicado a la desigualdad de Carleman, aquí está. Por otro lado, uno tiene secuencias $a_n$ de enteros positivos o números reales no negativos de la teoría analítica de números. Por ejemplo, $\frac{2+\mu(n)}{n^{x}}$ donde $\mu(n)$ es la función de Möbius y $x>1$, otro ejemplo es $|G_n|$ donde $G_n$ es el coeficiente Gregory $n$-ésimo (ver este Wikipedia), o finalmente este ejemplo de $a_n=\frac{1}{p_n}+\frac{1}{2+p_n}$, donde $p_n$ es primo y $p_n+2$ también es primo.
Pregunta. Imagina que un amigo me pregunta si es interesante escribir las especializaciones de la desigualdad de Carleman que he mencionado. Es decir, si las desigualdades resultantes tienen un buen significado matemático: son desigualdades más afiladas (son buenas, o muy difíciles de mejorar), o muestran algún hecho interesante acerca de alguna de nuestras secuencias $a_n$. ¿Qué debería decirle?* Muchas gracias.
*Si argumentas que esta desigualdad podría no ser muy buena para algunas de mis secuencias, o los cálculos son tediosos, por favor explica tus palabras en tu respuesta a la pregunta anterior.
También puedes ilustrar tus palabras con diferentes secuencias de la teoría analítica de números.
