La preimagen de $\triangle$ es una variedad compacta de dimension cero.

Question

$f: X \to Y$, $g: Z \to Y$ y $Z$ son apropiados para la teoría de intersección ($X,Y,Z$ son variedades orientadas sin frontera, $X,Z$ es compacto, $Z$ es subvariedad cerrada de $Y$, y $\dim X + \dim Z = \dim Y$), $f$ es transversal a $Z$.

(1) Si $\triangle$ denota la diagonal de $Y \times Y$, y $f \times g : X \times Z \to Y \times Y$ es el mapa producto, entonces $f(x) = g(z)$ precisamente en pares $(x,y)$ en $(f \times g)^{-1}(\triangle)$. Demuestra que $\dim (X \times Z) = \operatorname{codim} \triangle$.

(2) Si $f \times g \pitchfork \triangle$, la preimagen de $\triangle$ es una variedad de dimensión cero.

(3) La preimagen de $\triangle$ es compacta.

Answer 1

Medusa, ¡tienes que prestar atención a los detalles tú misma! ¿No son $X$ y $Z$ dimensiones complementarias en $Y$? Haz la aritmética. No, no asume transversalidad de los mapas.

Answer 2

Siguiendo la guía de Ted Shifrin, aquí está mi propio trabajo para este problema:

(1) Dado que $\dim \triangle = Y$, fácilmente obtenemos $\dim(X \times Z) = \dim X + \dim Z = \dim Y = \dim Y \times Y - \dim \triangle = \operatorname{codim} \triangle$.

(2) De acuerdo con el teorema:

Teorema Si la aplicación suave $f: X \to Y$ es transversal a una subvariedad $Z \subset Y$, entonces la preimagen $f^{-1}(Z)$ es una subvariedad de $X$. Además, la codimensión de $f^{-1}(Z)$ en $X$ es igual a la codimensión de $Z$ en $Y.

Por lo tanto, para esta pregunta, tenemos $f \times g : X \times Z \to Y \times Y$, por lo que la codimensión de $(f \times g)^{-1}(\triangle)$ es igual a la codimensión de $\triangle$ en $Y \times Y$, que es de dimensión cero.

(3) La preimagen de $\triangle$ es un subconjunto de un conjunto compacto $X$, por lo tanto la preimagen de $\triangle$ es compacta. Por lo tanto, dado que el dominio $X$ es compacto, la preimagen de $\triangle$ es compacta.