Media de una distribución Cauchy

Question

¿Por qué la media de una distribución de Cauchy es indefinida? ¿Seguramente debería ser $0$ por simetría? $$\int_{-\infty}^{\infty} {\frac{x}{\pi (1+x^2)}} dx =0?$$

Answer 1

El problema es que $$\int_0^\infty \frac{x\,dx}{1+x^2}=+\infty \text{ and }\int_{-\infty}^0 \frac{x\,dx}{1+x^2}=-\infty,$$ y una consecuencia de que tanto las partes positivas como negativas sean infinitas es que $$\lim_{a\to\infty,\ b\to\infty} \int_{-a}^b \frac{x\,dx}{1+x^2}$$ realmente depende de la manera en que $a$ y $b$ están relacionados. Por ejemplo, si $a=b$, entonces tienes $$\int_{-b}^b \frac{x\,dx}{1+x^2}=0,$$ pero si $a=2b$ entonces tienes $$\begin{align} \int_{-2b}^b \frac{x\,dx}{1+x^2} & = \int_0^b \frac{x\,dx}{1+x^2} + \int_{-2b}^0 \frac{x\,dx}{1+x^2} \\[10pt] & = \int_1^{1+b^2} \frac{du/2} u + \int_{1+4b^2}^1 \frac{du/2} u \\[10pt] & = \frac 1 2 \log(1+b^2) - \frac 1 2 \log(1+4b^2) \\[10pt] & = \frac 1 2 \log\frac{1+b^2}{1+4b^2} \\[10pt] & \to -\frac 1 2 \log 4 \ne 0 \text{ as }b\to\infty. \end{align}$$ Este tipo de cosas solo pueden suceder cuando las partes positivas y negativas son ambas infinitas.

Otra consecuencia es que cosas como la ley de los grandes números no se aplican. Tampoco se aplica el teorema del límite central.

Answer 2

No mezcles la integral impropia con su valor principal de Cauchy. En el primero, en particular, cada integral de la forma $$\int_{a}^{\infty} {\frac{x}{\pi (1+x^2)}}\, dx$$ debe existir. Pero la integral se comporta como la de $1/x$, por lo tanto es divergente.