límite inferior y superior para conjuntos frente a números reales

Question

Busco una explicación intuitiva de $\liminf$ y $\limsup$ para la secuencia de conjuntos y cómo se corresponde con $\liminf$ y $\limsup$ para conjuntos de números reales. He investigado en Internet pero no encuentro una buena comparación. Se agradece cualquier enlace, referencia o respuesta.

Por ejemplo, ¿qué es $\liminf$ y $\limsup$ de secuencias de números reales $a_n=(-1)^n$ y $b_n=1/n$ . En correspondencia con esto, ¿cuál es la $\liminf$ y $\limsup$ de la secuencia de conjuntos $A_n=\{(−1)^n\}$ y $B_n=\{1/n\}$ ?

Answer 1

Tratemos primero los ejemplos.

El $\liminf$ de la secuencia real $\{a_n\}$ con $a_n = (-1)^n$ es $-1$ La $\limsup$ de la misma secuencia es $1$ . Para la secuencia $\{b_n\}$ con $b_n=\frac{1}{n}$ ya que la secuencia converge a $0$ cada subsecuencia converge a $0$ por lo que ambos $\liminf$ y $\limsup$ son iguales a $0$ . Se puede pensar en el $\liminf$ como el mínimo de todos los límites de todas las subsecuencias convergentes de la secuencia, y el $\limsup$ es el sumo de todos los límites de todas las subsecuencias convergentes de las secuencias.

Utilizando las definiciones dadas por Jens, para $A_n=\{(-1)^n\}$ el $\limsup$ es $\{-1, 1\}$ porque ambos elementos aparecen en un número infinito de $A_n$ y el $\liminf$ está vacía, porque ningún elemento se encuentra en todos los elementos, salvo en un número finito de ellos. $A_n$ . Para $B_n$ son vacíos porque ningún elemento está presente en un número infinito de conjuntos, ni en todos los conjuntos excepto en los finitos (cada elemento está presente sólo en un $B_n$ ). De nuevo, $\liminf$ es la colección de todos los puntos que están en todos los conjuntos menos en los finitos, mientras que $\limsup$ es la colección de todos los puntos que están en infinitos conjuntos.

Pero usted está mirando el equivocada si quieres que tus conjuntos estén relacionados con tus secuencias. Como señala Nate Eldredge, lo que deberías mirar es el conjunto $A_n = (-\infty,a_n)$ o $A_n = (-\infty,(-1)^n)$ . Utilizando que definición, tiene que $\limsup A_n = (-\infty,1)$ (como era de esperar, ya que $\limsup a_n = 1$ Cada uno de estos números aparece en un número infinito de $A_n$ ), y $\liminf A_n=(-\infty,-1)$ porque son los únicos que aparecen en todos los conjuntos excepto en los finitos (de hecho, en todos; cualquier otro número que aparezca en cualquier $A_n$ sólo se produce en el $A_n$ con incluso $n$ por lo que falta en un número infinito de $A_n$ ); mientras que si se deja $B_n = (-\infty,\frac{1}{n})$ entonces $\liminf B_n=\limsup B_n = (-\infty,0]$ (de nuevo, como era de esperar, ya que el límite inferior y el límite superior de $b_n$ son ambos iguales a $0$ ).

Ahora bien, la razón por la que parece que te quedas colgado es que parece que hay poca relación entre los límites inferior y superior de un $a_n$ y los límites inferior y superior de la secuencia de conjuntos $\{a_n\}$ . Pero el punto que Nate Eldredge hizo es que estos no son los conjuntos que quieres asociar con la secuencia $a_n$ .

Quizá recuerde que una secuencia $\{a_n\}$ converge a $L$ si y sólo si cada subsecuencia $\{a_{n_k}\}$ converge a $L$ . Además, toda secuencia contiene una secuencia monótona, por lo que si permitimos $\infty$ y $-\infty$ como "límites", se deduce que toda secuencia tendrá necesariamente una subsecuencia convergente. Así que uno puede preguntarse: "¿cuáles son todos los puntos $M$ para el que existe una subsecuencia de $\{a_n\}$ que converge a $M$ ?" Se pueden ver los límites inferior y superior en términos de este conjunto: el límite inferior de la secuencia es el número más pequeño $\ell$ (incluyendo posiblemente $\infty$ o $-\infty$ ) para la que existe una subsecuencia de $\{a_n\}$ convergiendo a $\ell$ . El límite superior es el mayor número $L$ para el que existe una subsecuencia de $\{a_n\}$ que converge a $L$ . En efecto, el límite existe si y sólo si $\ell=L$ . Los límites inferior y superior también pueden ser definidos por $$\liminf a_n = \lim_{n\to\infty}(\inf\{a_m|m\geq n\}) = \sup_n\left(\inf\{a_m|m\geq n\}\right)$$ y $$\limsup a_n = \lim_{n\to\infty}(\sup\{a_m|m\geq n\}) = \inf_n\left(\sup\{a_m|m\geq n\}\right).$$

Visto así, quizá se pueda ver un poco más de relación con los límites inferior y superior de una secuencia de conjuntos. Si $\{A_n\}$ es una secuencia de conjuntos, entonces los límites inferior y superior se definen como $$\liminf A_n = \cup_{n=1}^{\infty}\left(\cap_{m=n}^{\infty} A_m\right)$$ y $$\limsup A_n = \cap_{n=1}^{\infty}\left(\cup_{m=n}^{\infty} A_m\right).$$ Piensa en una intersección como si tomara en común la cosa "más pequeña" (por tanto, como un infimum), y piensa en la unión como si tomara en común la cosa "más grande" (por tanto, como un supremum). El límite inferior es el supremum de los infimos, mientras que el límite superior es el infimo de los supimos. Ahora es un bonito ejercicio comprobar que $\liminf A_n$ es la colección de todas las cosas que se encuentran en todas, pero finitamente muchas de las $A_i$ , mientras que $\limsup A_n$ es el conjunto de todas las cosas que están en infinidad de $A_i$ (como describe Jens).

Entonces, ¿cómo se conecta una secuencia $\{a_n\}$ a los conjuntos para que los límites inferior y superior se correspondan de alguna manera? No se puede simplemente tomar $A_n = \{a_n\}$ porque entonces cada $A_n$ no sabe nada de lo que vino antes o después; se pierde toda la información que podría decir algo sobre las subsecuencias. Puede intentar dejar que $A_n =\{a_m|m\geq n\}$ y eso incluso funcionará en algunos casos, pero el problema aquí es que la información que se pierde es que en los números reales, una secuencia puede converger a un número incluso si sin plazo en la secuencia es igual al límite; entonces el límite nunca va a aparecer en ninguno de los conjuntos, y no va a aparecer en los límites inferior ni superior de los conjuntos.

¿Cuál es la solución? El límite inferior de una sucesión va a ser una cota inferior para todos los términos de la sucesión excepto para los finitos (si hubiera infinitos términos de la sucesión estrictamente menores que $\liminf a_n$ entonces se podrá obtener una subsecuencia de entre ellas que converja a algo estrictamente menor que $\liminf a_n$ una contradicción). Esto sugiere que lo que se quiere hacer es dejar que $A_n$ sea la colección de todos los límites inferiores de $a_n$ entonces el límite inferior de la $A_n$ será la colección de todas las cosas que son límites inferiores a todos los términos de la secuencia menos a los finitos, exactamente el conjunto que quieres considerar para encontrar $\liminf a_n$ .

¿Cuál es el límite superior de $a_n$ ? Se puede definir doblemente, como el más pequeño de todos los números que tiene un límite superior para todos los términos de la secuencia, excepto los finitos (esto llevará a la fórmula que dice que $\limsup a_n = -\liminf(-a_n)$ ). O puedes intentar definirlo en términos de los límites inferiores de nuevo: cualquier número $k$ estrictamente menor que el límite superior debe tener infinitos términos de la secuencia mayores que $k$ (de lo contrario, ninguna subsecuencia podría converger a algo mayor, por lo que ninguna subsecuencia podría converger al límite superior). Es decir: mira la colección de todas las cosas que son límites inferiores para infinitamente muchos de la $a_n$ y el supremum de éste será el límite superior. Así que volvemos a mirar $A_n = (-\infty,a_n)$ (el conjunto de todos los límites inferiores de $a_n$ ), y considerar el límite superior de la $A_n$ es la colección de todos los números que son límites inferiores a infinitos de los $a_n$ , por lo que su supremacía será $\limsup a_n$ . Por eso se considera el conjunto $A_n(-\infty,a_n)$ en lugar del conjunto $\{a_n\}$ y de dónde vienen.

Hay otras formas de asociarse a cada $a_n$ un conjunto apropiado; en esta situación, observe que $\sup A_n = a_n$ para cada $n$ que $\sup(\liminf A_n) = \liminf (\sup A_n) = \liminf a_n$ y $\sup(\limsup A_n) = \limsup(\sup A_n) = \limsup a_n$ lo que hace que esta asociación sea bastante agradable.

Espero que esto ayude a aclararlo más.

Answer 2

Aquí hay dos hechos que pueden ayudar con la analogía.

1. Dejemos que $x_n$ sea una secuencia real; sea $A_n = (-\infty, x_n)$ . Entonces $\limsup A_n = (-\infty, \limsup x_n)$ o $(-\infty, \limsup x_n]$ . De la misma manera, $\liminf A_n = (-\infty, \liminf x_n)$ o $(-\infty, \liminf x_n]$ .

2. Dejemos que $A_n$ sean subconjuntos de algún conjunto $\Omega$ y que $1_{A_n} : \Omega \to \mathbb{R}$ sea la función que es 1 en $A_n$ y 0 en $A_n^c$ . Entonces $\limsup 1_{A_n}(\omega) = 1_{\limsup A_n}(\omega)$ para todos $\omega \in \Omega$ , y de forma similar $\liminf 1_{A_n}(\omega) = 1_{\liminf A_n}(\omega)$ .

Answer 3

Como sé los límites de secuencias de conjuntos, el límite superior consiste en todos los puntos contenidos en infinitos de estos conjuntos, el límite inferior son todos los puntos contenidos en casi todos los conjuntos.

$$\limsup A_n = \{x | x\in A_n \text{ for infinitely many }n\}$$

$$\liminf A_n = \{x | x\in A_n \text{ for all but finitely many }n\}$$

Por lo que sé, no se corresponden con los límites de las secuencias de números reales de forma evidente. He llegado a la conclusión de que están mal nombrados, pero puede que me falte perspicacia en este sentido. =)