Un intento de demostrar el teorema de Cauchy para grupos abelianos mediante el uso de series de composición.

Question

Se me ocurrió esta prueba para la versión abeliana del Teorema de Cauchy (si un primo $p$ divide el orden de un grupo abeliano, entonces tiene un subgrupo de orden $p$). Espero que alguien pueda por favor verificar si es correcta y luego responder algunas preguntas al respecto. Espero que este tipo de pregunta sea adecuada aquí.

Si $G$ es cíclico, entonces el resultado es obvio, así que asumimos lo contrario y procedemos por inducción sobre $\lvert G \rvert$. Dado que $G$ es finito, podemos tomar una serie de composición $$G \supset G_1 \supset G_2 \supset \ldots \supset \{e\},$$ y como $\lvert G \rvert$ es el producto de los órdenes de sus factores de composición, debe haber un factor $\frac{G_i}{G_{i+1}}$ con un orden divisible por $p$. Pero entonces $\lvert G_i \rvert = \lvert \frac{G_i}{G_{i+1}} \rvert \lvert G_{i+1} \rvert $ también es divisible por $p$. Si $G_i \neq G$, entonces el resultado sigue por inducción, así que asumimos $G_i = G$, y elegimos $x \in G \setminus G_{1}$. Por la simplicidad del primer factor de composición, $G_{1}$ es un subgrupo propio maximal, entonces debe ser que $\langle x \rangle G_{1} = G$, por lo tanto $\lvert G \rvert = \frac{\lvert x \rvert \lvert G_{1} \rvert}{\lvert \langle x \rangle \cap G_{1} \rvert }$. Luego, $\lvert x \rvert = \lvert \langle x \rangle \cap G_{1} \rvert \lvert \frac{G}{G_{1}} \rvert$, entonces $p$ divide a $\lvert x \rvert$, lo que completa la prueba.

Preguntas:

1. ¿Es correcta la prueba? Parece demasiado fácil, lo cual me preocupa. Si es correcta, ¿he agregado complicaciones innecesarias que podrían eliminarse para simplificarla? Si no es correcta, ¿se puede salvar?

2. ¿Hay alguna forma de hacer que esto funcione para grupos no abelianos? Estoy bastante seguro de que solo utilicé la conmutatividad en la penúltima oración, en el caso no conmutativo $G_1$ es un subgrupo normal maximal y $\langle x \rangle$ no necesariamente es normal, por lo que la prueba no funciona. ¿Hay alguna manera de resolver esto? Lo único que se me ocurre es reemplazar $\langle x \rangle$ con el subgrupo normal generado por $x$, pero no sé cómo demostrar que es propio (si es que lo es).

Answer 1

Tu prueba está bien. En realidad, puedes simplificarla un poco ya que ni siquiera necesitas usar la inducción en absoluto una vez que tienes tu serie de composición. De hecho, sea $i$ tal que $p$ divide a $G_i/G_{i+1}$. Entonces hay un elemento $x\in G_i/G_{i+1}$ de orden $p$ (ya que $G_i/G_{i+1}$ es simple y en particular cíclico). Ahora elige $y\in G_i$ cuya imagen en $G_i/G_{i+1}$ es $x$. El orden de $y$ es un múltiplo del orden de $x$, y por lo tanto el orden de $y$ es divisible por $p$ y hemos terminado.

Si intentas hacer un argumento similar para grupos no abelianos, se reduciría a demostrar el teorema de Cauchy para grupos simples. Esta es una reducción complicada, pero en realidad no creo que realmente ayude: no veo cómo sería más fácil demostrar el teorema de Cauchy para grupos simples que para grupos arbitrarios, excepto en que maneja el caso abeliano para pruebas del teorema de Cauchy que tratan los casos abeliano y no abeliano por separado.

Answer 2

Una forma diferente de llegar a la conclusión es la siguiente.

Sea $\phi$ la aplicación de Frobenius $x \rightarrow x^{p}$. Dado que $G$ es abeliano, es fácil ver que $\phi$ es un homomorfismo. Claramente $im(\phi) \subseteq G_{1}$. Por lo tanto, $ker(\phi) \neq 1$. Dado que los elementos no triviales en $ker(\phi)$ son elementos de orden $p$, el resultado sigue.