El espacio métrico está totalmente acotado si y solo si cada secuencia tiene una subsucesión de Cauchy

Question

Demuestra que un espacio métrico está totalmente acotado si y solo si cada secuencia tiene una subsucesión de Cauchy.

Creo que he demostrado la parte de la subsucesión de Cauchy:

Sea $a_{0},a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4},...\in X$ una secuencia.

Para cada $k$, sea $F \subseteq X$ un $\frac1k$-net finito.

Dado $I \subseteq \Bbb N_{\ge0}$ y $k>1$ encuentras un conjunto $J$ infinito tal que: $$\exists p\in F:\forall n\in J: d(x_n,p)<\frac1k$$

Answer 1

Has demostrado que totalmente acotado implica que toda secuencia tiene una subsucesion de Cauchy, por lo tanto, demostraré la otra implicación. Esta es una prueba utilizando la contrapositiva, es decir, que no es totalmente acotado implica que hay una secuencia sin subsucesión de Cauchy.

Supongamos que $X$ no es totalmente acotado. Entonces existe un $\epsilon>0$ tal que para todos los conjuntos finitos de puntos $\{x_1,\ldots,x_n\}$ $$X\neq \bigcup_{k=1}^n B(x_k;\epsilon).$$ Ahora construimos una secuencia que no tiene subsucesión de Cauchy. Comenzamos con una colección finita de puntos $\{x_1,\ldots,x_n\}$, como se mencionó anteriormente. Luego, dado que $X\neq \bigcup_{k=1}^n B(x_k;\epsilon)$, existe un punto $x_{n+1}\in X$ tal que $x_{n+1}\notin \bigcup_{k=1}^n B(x_k;\epsilon)$. Además, $$X\neq \bigcup_{k=1}^{n+1} B(x_k;\epsilon)$$ porque si fueran iguales, tendríamos una contradicción con nuestra suposición. Repite este proceso para obtener una secuencia $(x_k)_{k=1}^\infty$.

Para verificar que esta secuencia no tiene subsucesión de Cauchy, notamos que para cualquier par de términos $x_n$ y $x_m$ en esta secuencia, si $m>n$, entonces $$x_m\notin \bigcup_{k=1}^{m-1} B(x_k;\epsilon).$$ En particular, $x_m\notin B(x_n;\epsilon)$, por lo tanto $d(x_m,x_n)\geq \epsilon$. De manera similar si $n>m$. Esto muestra que los términos de esta secuencia tienen al menos una distancia de $\epsilon$ entre ellos, por lo tanto, no puede existir una subsucesión de Cauchy.

Answer 2

La prueba establecida de la implicación de espacio totalmente acotado $\implies $ subsecuencia de Cauchy es más bien un esbozo del enfoque que una prueba completa. Así es como se desarrolla:

Supongamos que $(a_n)$ es una secuencia en un espacio métrico totalmente acotado $X$. Para cada $k$, elige un $(1/k)$-entrelazamiento finito en $X$ y llámalo $F_k$.

Sea $J_0 = \mathbb{N}$ y construya conjuntos infinitos $J_0\supset J_1\supset J_2\supset J_3\supset\cdots $ de manera inductiva de la siguiente manera. Para cada $n\in J_{k-1}$ hay un $p\in F_k$ tal que $d(x_n,p)<1/k$. Dado que $J_{k-1}$ es infinito mientras que $F_k$ es finito, existe un $p\in F_k$ tal que el conjunto $J_k : = \{n\in \mathbb{N}:d(x_n, p)< 1/k\}$ es infinito.

Finalmente, define la subsecuencia $a_{n_k}$ permitiendo que $n_k$ sea algún elemento de $J_k$ que sea mayor que $n_{k-1}$. Esta es una subsecuencia de Cauchy. De hecho, para cualquier $\epsilon>0$ existe un $N$ tal que $2/N<\epsilon$. Para $j,k\ge N$ tenemos $n_j,n_k\in J_N$, por lo tanto hay un $p\in F_N$ tal que $$ d(a_{n_k},p) < \frac{1}{N}, \quad d(a_{n_j},p) < \frac{1}{N} $$ Así que $d(a_{n_k}, a_{n_j}) < 2/N<\epsilon$ por la desigualdad triangular.