Estaba jugando con secuencias definidas recursivamente en función de los dos términos anteriores y encontré la secuencia $$P_n=4P_{n-2}-P_{n-1}$$ He estado tratando de encontrar dos semillas $P_1$ y $P_2$ para que ningún valor de $P_n$ sea negativo, y no he podido hacerlo. Todavía no he intentado escribir una fórmula explícita en función de las semillas, pero será complicado y poco elegante si lo hago. ¿Hay otra forma de encontrar dos semillas de este tipo o demostrar su no existencia? ¡Gracias!
Respuesta
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La solución general de esta recursión es $a r_1^n + b r_2^n$ donde $r_1 = (-1-\sqrt{17})/2$ y $r_2 = (-1+\sqrt{17})/2$ son las raíces del polinomio $x^2 + x - 4$. Dado que $r_1 < 0 < r_2$ y $|r_1|>r_2$, la única forma de que todos los términos sean positivos es tener $a=0$ y $b > 0$. Por lo tanto, se desea que $P_2 = P_1 r_2$ con $P_1 > 0.
