Agregando dos sumatorias (fórmula de Leibniz)

Question

Estoy preguntándome cómo se realiza este desarrollo. Estaría realmente agradecido si alguien quisiera explicármelo. No entiendo por qué el lado derecho no tendrá la forma de la regla del producto como se puede ver que tiene el lado izquierdo. Esto es todo a partir de una demostración de la fórmula de Leibniz, por cierto.

\begin{align} &\sum_{k=0}^{p-1}{p-1 \choose k}{D^{p-k}fD^{k}g + \sum_{l=1}^{p}{p-1 \choose l-1}{D^{p-l}fD^{l}g} =\\{D^{p}fg} +\sum_{k=1}^{p-1}[{p-1 \choose k}+{p-1 \choose k-1}]{D^{p-k}fD^{k}g+f{D^{p}g}}}. \end{align}

¡Gracias!

Answer 1

Parece que todo el paso consiste en separar el término $k=0$ de la primera suma a la izquierda y el término $l=p$ en la segunda suma. Estos son tus términos $D^pfg$ y $fD^pg$, y el resto de ambas sumas ahora tienen un rango de sumación de 1 a $p-1$. En ese rango no importa si reemplazamos el índice $l$ por el índice $k.