Coeficiente binomial gaussiano

Question

Que el coeficiente binomial gaussiano se defina para un primo $q$ como

\begin{equation}\binom{N}{l}_{q}:=\prod_{i=0}^{l-1} \frac{q^{N-i}-1}{q^{l-i}-1}\end{equation}

Ahora quiero demostrar que, para $D>2$:

\begin{equation} \binom{N-(D-2)/2}{N-l}_{q}<\binom{N-(D-2)/2}{l}_{q} \end{equation}

si y solo si $l

Muchas gracias por tu ayuda.

Answer 1

Es cierto; aquí tienes un bosquejo. Sea $c=(D-2)/2$. $\binom{N-c}{l}_q$ es unimodal y simétrico en $l$, por lo que tu desigualdad se cumplirá precisamente cuando $l$ esté más cerca de $(N-c)/2$ que de $N-l$. Con un poco de álgebra puedes ver que esto es equivalente a decir que $N-2l$ está más cerca de $c$ que de $-c$. Dado que $c>0$, esto es equivalente a decir que $N-2l >0$ y ya está.