(a) Usa el teorema de Rolle para demostrar que $P_n$ no puede tener ceros múltiples en el intervalo abierto $(-1, 1)$. En otras palabras, cualquier cero de $P_n$ que esté en $(-1, 1)$ debe ser un cero simple.
Supongamos que $P_n$ tiene una raíz cero $z\in(-1,1)$ de orden $2$, es decir, $P_n(z)=P_n'(z)=0.
Dado que $P_n$ satisface la ecuación diferencial $$\tag{1} [(1-x^2)P_n'(x)]'+n(n+1)P_n(x)=0, $$ deducimos que $$ (1-z^2)P_n''(z)-2zP_n'(z)+n(n+1)P_n(z)=0, $$ es decir, $P_n''(z)=0$ porque $z^2\ne 1$. Por inducción tenemos que $P_n^{(k)}(z)=0$ para todo $k=0,1,2,\ldots,n.
Así $$ P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{P_n^{(k)}(z)}{k!}(x-z)^k=0 \quad \forall x, $$ es decir, $P_n\equiv0$. Esto no puede ser porque $\deg P_n=n$. Por lo tanto, $z$ es una raíz simple.
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