¿Es el soporte de una variable aleatoria aquellos valores donde el gráfico de su distribución no es "plano"?

Question

En la literatura, el soporte, $S$, de una variable aleatoria $X$ se define como el subconjunto cerrado más pequeño de la recta real $\mathbb{R}$ con probabilidad $1$. Buscamos demostrar que $S$ es donde la gráfica de la función de distribución acumulativa de $X$, $F$, no es "plana". Más formalmente, con $O_x$ un intervalo abierto que contiene a $x$ con probabilidad $P(O_x)$, demostrar que: $S=\{x: \forall O_x\quad P(O_x)\neq 0\}$.

Para clarificar, demostrar que $S=\{x: \forall O_x\quad P(O_x)\neq 0\}$ es cerrado con probabilidad 1 y es el conjunto cerrado cierto más pequeño.

Answer 1

Si $x \notin S$, dado que $S$ está cerrado, existe un intervalo abierto $O_x$ alrededor de $x$ que está disjunto de $S$, y dado que $P(S) = 1$, debemos tener $P(O_x) = 0.

De manera conversa, si hay un intervalo abierto $O_x$ alrededor de $x$ tal que $P(O_x) = 0$, entonces ${\mathbb R} \backslash O_x$ es un subconjunto cerrado de $\mathbb R$ con $P({\mathbb R} \backslash O_x) = 1$, por lo que $S \subseteq {\mathbb R} \backslash O_x$, y en particular $x \notin S$.

Answer 2

Sea $x\in S$ y supongamos que $P(O_x) = 0$ para algún intervalo abierto no trivial $O_x$ alrededor de $x$. Entonces $S - O_x$ es un subconjunto cerrado propio de $S$, lo cual contradice la suposición de minimalidad. De manera recíproca, si $x$ cumple la propiedad mencionada para todos los $O_x$ correspondientes, entonces todo vecindario de $x$ interseca a $S$ de manera no trivial, es decir, $x\in S$.

Answer 3

Puedes hacer esto por contradicción.

Si $S$ es un conjunto cerrado con $\Pr(X \in S)=1$ y hay un $x \in S$ con un conjunto abierto $O_x$ que contiene a $x$ donde $\Pr(X \in O_x)=0$ entonces $S\backslash O_x$ es un conjunto cerrado más pequeño que $S$ [no contiene a $x] y $\Pr(X \in S\backslash O_x) \ge \Pr(X \in S)-\Pr(X \in O_x) =1-0=1

Así que $S$ no es el subconjunto cerrado más pequeño con probabilidad $1$ y por lo tanto $x$ no puede estar en el soporte.