Resolver la ecuación funcional $f(x)=f\left({x\over 3}\right)+f\left({2x\over 3}\right)$ $f : [0,\infty) \to \mathbb R$ continua

Question

Resolver la ecuación funcional

$$f(x)=f\left({x\over 3}\right)+f\left({2x\over 3}\right)\qquad \forall x\geq 0$$ con $f : [0,\infty) \to \mathbb R$ continuo.

No he podido conseguir esta a la forma de Cauchy funcional de la ecuación, pero me imagino que es lo que tal vez hace.

Answer 1

Para mi sorpresa, hay no-lineal de las soluciones a esta ecuación funcional.
Considere la posibilidad de funciones de la forma:

$$F(x;\alpha,k) = x^\alpha \sin( k\log x )$$

Si uno puede elegir $\alpha \in (0,1)$ $k \in (0,\infty)$ tal forma que:

$$\begin{align} \left(\frac13\right)^\alpha \cos\left(k \log\frac13\right) + \left(\frac23\right)^\alpha \cos\left(k\log\frac23\right) &= 1\\ \left(\frac13\right)^\alpha \sin\left(k \log\frac13\right) + \left(\frac23\right)^\alpha \sin\left(k\log\frac23\right) &= 0\tag{*} \end{align}$$

a continuación, $F$ es continuo en el $[0,\infty)$ y satisface: $$ F(x;\alpha,k) = F(\frac{x}{3};\alpha,k) + F(\frac{2x}{3};\alpha,k)$$

Por ensayo y error, he de encontrar al menos una solución de $(*)$ $(\alpha,k) \sim ( 0.7586093, 16.4941542 )$ y la correspondiente a $f(x)$ tiene este aspecto:

Answer 2

Ciertamente sabemos que $f(0)=0$ $$f(0)=f(0)+f(0)$$ Una solución obvia es $f(x)=x$, y varios de los que $f(x)=\alpha x$$\alpha \in \mathbb{R}$. ¿Necesita todas las soluciones, o una prueba de que esto son todas las funciones? O usted sólo tiene que encontrar una solución única?

No estoy seguro de si es la única solución, te doy algunos de mis pensamientos. (De hecho esto me recuerda un poco a los demonios de la escalera (el cantor de la función), entonces, creo que la solución no será la única). Tenemos la ecuación \[ f(x)=f(\tfrac{x}{3}) + f(\tfrac{2x}{3})\]

Esto significa que $$f(x)-f(\tfrac{x}{3})=f(\tfrac{2x}{3})$$

Utilizando la ecuación anterior, de nuevo tenemos \[ f(x)=f(\tfrac{x}{9}) + f(\tfrac{2x}{9}) + f(\tfrac{2x}{9}) + f(\tfrac{4x}{9})\] Esto es evidente, igual a \[ f(x) = f(\tfrac{x}{9}) +2 f(\tfrac{2x}{9}) + f(\tfrac{4x}{9})\] Cuando repetimos una vez más tenemos \[ f(x) = f(\tfrac{x}{27}) + 3 f(\tfrac{2x}{27}) +3f(\tfrac{4x}{27})+ f(\tfrac{8x}{27})\] Más general, tenemos \[ f(x) = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} f\left(\frac{2^i x}{3^i}\right)\]

Answer 3

Observar que : $$f(x)=f\left(\frac{x}{3}+\frac{2x}{3}\right)=f\left(\frac{x}{3}\right)+f\left(\frac{2x}{3}\right)$$

usted puede hacer una sustitución :

$$\frac{x}{3}=y;$$ $$\frac{2x}{3}=z.$$

$$f(y+z)=f(y)+f(z)$ $ , que es una de Cauchy funcional de la ecuación con la solución: $$f(y)=Ky, K \in \mathbb{R}.$$

o $$f\left(\frac{x}{3}\right)=\frac{x}{3}$$ $$\frac{x}{3} \mapsto X $$

así $$f(X)=kX$$ with $k \in \mathbb{R}$.