Construcción del producto tensorial, submódulo generador que se factoriza

Question

El producto tensorial de módulos $M_0, M_1$ es un cociente de un módulo libre $F$, …, por un submódulo $F'$. Encontré 2 definiciones de este $F'$, y la diferencia está en estas reglas generadoras:

• Wikipedia: $(r\cdot m_0)\otimes m_1 - m_0\otimes (r\cdot m_1)$;
• Álgebra de Lang: $r\cdot(m_0\otimes m_1) - (r\cdot m_0)\otimes m_1, r\cdot(m_0\otimes m_1) - m_0\otimes (r\cdot m_1)$.

En mi opinión, la Álgebra de Lang $\to$ Wikipedia, porque

$(r\cdot(m_0\otimes m_1) - m_0\otimes (r\cdot m_1)) - (r\cdot(m_0\otimes m_1) - (r\cdot m_0)\otimes m_1)$ $= (r\cdot m_0)\otimes m_1 - m_0\otimes (r\cdot m_1)$.

¿Se cumple la implicación inversa? Si no es así, ¿es un error en Wikipedia?

Answer 1

Creo que el problema es que a) se trata de dos situaciones diferentes y b) el artículo de Wikipedia es inconsistente porque habla de un módulo libre sobre los símbolos $m_0 \otimes m_1$ cuando creo que se refiere a un grupo abeliano libre.

Lang trata con módulos sobre anillos conmutativos, y construye el producto tensorial como dices, como el cociente de un módulo libre sobre el módulo generado por las reglas dadas.

El artículo de Wikipedia trata con módulos izquierdos y derechos, y en otras partes del artículo dice que el producto tensorial es simplemente un grupo abeliano, no un módulo. (Citas incorrectamente la regla; en el artículo está escrita correctamente con $r$ a la derecha de $m_0$.) Las reglas dadas ahí son las apropiadas para un grupo abeliano (no tiene sentido multiplicar por $r$ en ese caso), pero el artículo afirma incorrectamente que se está tomando el cociente de un módulo libre.