Exponencial de una matriz - Valores propios repetidos y complejos

Question

Estoy buscando una solución general al problema de valor inicial x' = Ax, x(0) = x_0 que se puede escribir para incluir tanto los eigenvalores como los eigenvectores.

Para cubrir el caso de eigenvalores repetidos, ciertamente podemos llegar a esto:

x_(t) = c_1*x_1(t) + ... + c_n*x_n(t)

donde x_i(t) se da mediante este procedimiento que encontré:

Sin embargo, esto no cubre el caso de eigenvalores complejos. (¿Lo hace?) Muchos libros de ecuaciones diferenciales cubren el tema de eigenvalores complejos y repetidos de matrices. Sin embargo, ¿es posible tener una matriz nxn de valores reales con eigenvalores complejos que también se repitan? Parece probable, pero no encuentro ninguna declaración al respecto en un sentido u otro.

Y si es así, ¿podemos simplemente agregar sin/cos al final de esa ecuación anterior para dar la solución más general, o los valores complejos repetidos estropearían eso?

Answer 1

Sí, ese procedimiento abarca el caso de los valores propios complejos de manera adecuada. Lo que hace es calcular el exponencial de $At$ escribiéndolo en forma normal de Jordan, la cual puedes encontrar explicada en la mayoría de los libros de álgebra lineal.

Es posible tener una matriz real $n \times n$ con valores propios complejos repetidos, con multiplicidad geométrica mayor que $1$. Puedes tomar la matriz compañera de cualquier polinomio real mónico con raíces complejas repetidas. El menor $n$ para el cual esto sucede es $n = 4$. Por ejemplo, tomando el polinomio $(t^2 + 1)^2 = t^4 + 2t^2 + 1$ se obtiene la matriz

$$M = \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0. \end{array} \right].$$