No desaparición de la homología de los espacios de bucles

Question

Una de las respuestas a esta pregunta de MO implica que los espacios de bucles de $S^n$ para $n>1$ tienen homología no nula en grados arbitrariamente altos.

¿Existe alguna manera simple (o, mejor aún, geométrica) de probar esto?

Y si el resultado general es demasiado fuerte, ¿hay alguna forma sencilla de al menos mostrar un ejemplo de un espacio de bucles de una esfera con alguna homología no nula en un grado alto?

Tengo curiosidad porque el único espacio de bucles de esfera que realmente puedo imaginar ($\mathbb{Z} \approx \Omega S^1$) no muestra este tipo de comportamiento.

Edición: Esto no es exactamente lo que quería decir. Me queda claro que $H^{n-1}(\Omega S^n) \approx \mathbb{Z}$ porque se sigue del teorema de Hurewicz. Estoy buscando homología no trivial en un grado mayor que $n-1$. Lamento si mi pregunta no fue clara, en este caso geométrico básicamente significa "a mano" o "con poca teoría", es decir, sin sucesiones espectrales u operaciones de cohomología.

Answer 1

Para el propósito de tu pregunta, ¿a qué te refieres con "forma geométrica"?

Considera $\Omega S^n$. Piensa en el subespacio de $\Omega S^n$ que consiste en los grandes círculos que pasan por el punto base de $S^n$, parametrizados para tener velocidad constante. Este es un subespacio de $\Omega S^n$ que es homeomorfo a $S^{n-1}$. También es el generador de $H_{n-1} \Omega S^n$, siempre que $n>1.

Así que el generador consiste en lazos que han sido "tirados fuertemente". Por lo general, cuando la gente habla de geometría en el caso de la homología de espacios de bucles, suelen referirse a la teoría de Morse al estilo de Bott. Por lo tanto, puede que quieras considerar la DE geodésica en el espacio de bucles suave libre $L(S^n)$, sus puntos críticos, el índice de dichos puntos críticos, etc.