Mostrar que cualquier conjunto abierto $U\subseteq\mathbb{R}^n$ es una unión disjunta de una cantidad numerable de intervalos.

Question

Como dice el título, tengo que mostrar que cualquier conjunto abierto $U\subseteq\mathbb{R}^n$ es una unión disjunta de una cantidad contable de intervalos.

Hola, mi idea es la siguiente:

Considera cualquier $x=(x_1,...,x_n)\in U\subseteq\mathbb{R}^n, U$ abierto. Entonces existe un $\varepsilon>0$ tal que $B(\varepsilon,x)\subseteq U$ porque $U$ es abierto. Ya que $x$ está en el intervalo abierto $$ (a,b)_x:=\left\{(x_1,...,x_n)\in\mathbb{R}^n|a_i

Ahora toma $x'\neq x$. Si $x'$ no está en $[c,d]_x$, uno puede construir nuevamente un intervalo cerrado con extremos racionales, es decir, $[e,f]_{x'}$. Existe un $\varepsilon'>0$ con $B(\varepsilon',x')\subseteq U$. Al minimizar $\varepsilon'$ a $\varepsilon''$ de tal manera que $$ [c,d]_x\cap B(\varepsilon'',x')=\emptyset, $$ $[c,d]_x$ y $[e,f]_{x'}$ son disjuntos. Si $x'$ está en $[c,d]_X$, elige $[e,f]_{x'}:=[c,d]_x$.

La deseada countabilidad se cumple debido a la countabilidad de $\mathbb{Q$}: Hay una cantidad contable de intervalos cerrados con extremos racionales como se construyeron arriba.

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Me gustaría saber si mi idea para la demostración es correcta o sin sentido.

¡Saludos!

Answer 1

Parece lo siguiente.

Tu prueba tiene una pequeña brecha técnica (para proporcionar $(a,b)_x\subset B(\varepsilon,x)$ deberías tomar $a_i:=x_i-\varepsilon/\sqrt{n}$,$b_i:=x_i+\varepsilon/\sqrt{n}$ en lugar de $a_i:=x_i-\varepsilon$, $b_i:=x_i+\varepsilon$) y un error de idea principal: es posible que no cubras todos los puntos del conjunto no numerable $U$ con tu construcción inductiva contable.

Veo la situación general de la siguiente manera.

1. Como ABC ya escribió en los comentarios, puedes cubrir cada subconjunto abierto no vacío $U$ de $\mathbb R^n$ con (contables) conjuntos abiertos y disjuntos "intervalos" solo si $n=1.

2. Por el Teorema de Sierpiński (ver respuesta de Nuno), si un continuom $X$ (es decir, un espacio compacto y conexo de Hausdorff) es una unión contable $\bigcup_{i=1}^{\infty} X_i$ de sus conjuntos cerrados disjuntos, entonces a lo sumo uno de los conjuntos $X_i$ es no vacío. Como corolario, no puedes cubrir ningún subconjunto abierto no vacío $U$ de $\mathbb R^n$ con conjuntos "intervalos" cerrados y contables disjuntos.

3. Cualquier subconjunto abierto no vacío de $\mathbb R^n$ es una unión disjunta de contables "cubos medio cerrados" de la forma $2^{1-k}(x+[0;1)^n)$, donde $k\in\mathbb N$ y $x\in\mathbb Z^n$. Usé esta construcción para demostrar que cada subconjunto abierto no vacío del espacio $\mathbb R^n$ es una unión disjunta de partes homeomórficas si $r\ge 2^{n+1}-1$ o $n=2$ y $r\ge 4$ (ver p. 2 de Versión preliminar en inglés de mi artículo ucraniano "Particiones de subconjuntos de $\mathbb R^n$ en conjuntos similares" (Nauk. visn. Cherniv. univ., 269. Matemáticas – Chernivtsi, Ruta, 2005 – P.88–93)).

Answer 2

Sea $x \in U$ y sea $U_x$ el componente conexo de $U$ que contiene a $x$, es decir, todos los $a \in U$ para los cuales existe una curva continua $\gamma:[0,1] \rightarrow U$ tal que $$\gamma(0)=x,\ \gamma(1)=a$$ y $\gamma([0,1]) \subset U$

Dado que $U$ es abierto, $ \ \exists \ r_x > 0 $ tal que una bola abierta $B(x,r_x)$ está contenida en $U$.
Las bolas abiertas son conjuntos conexos, por lo que $x \in B(x,r_x) \subset U_x$ implica que $x$ es un punto interior de $U_x.
Por lo tanto, cada componente conexo de $U$ puede ser representado por una bola abierta contenida en él y debido a que estos componentes son mutuamente disjuntos, las bolas que los representan también lo son.

Cada bola en esta colección de representantes contiene un punto racional (todas las coordenadas son números racionales), por lo tanto, cada componente conexo puede ser representado por una secuencia de n números racionales, por lo tanto, hay a lo sumo una cantidad numerable de elementos en esta colección.